. 01羽 行基本変形で行列の階数を求めよう - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
01羽 行基本変形で行列の階数を求めよう - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
01羽 行基本変形で行列の階数を求めよう - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)

うさぎでもわかる線形代数 第01羽 行基本変形で行列の階数を求めよう

1回他の列を0にしたら、0が多く含まれている行（最初とは違う行）でまた行基本変形を行います。\[\left( \begin -2 & -3 & 1 & 0 \\ -2_ & -2_ & 2_ & -1 \\ 2_ & 3_ & -1_ & 0 \end \right) \ \to \\left( \begin -2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\]

階段行列を求める際に、一番左の要素を1にしろ、っていう先生もいるのでその場合は一番左の要素が1になるように割り算をします。（この手段は行列の階数を求めるためには不要の操作）\[\left( \begin -2_ & -3_ & 1_ & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \ \to \\left( \begin 1 & \frac & -\frac & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\]

\[\left( \begin 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3_ & 4_ & 5_ & 6_ \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end \right) \ \to \\left( \begin 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end \right)\]

\[\left( \begin 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2_ & -7_ & 3_ & 4_ \\ 4_ & 14_ & -6_ & -8_ \end \right) \ \to \\left( \begin2 & 5 & -3 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & -4 \end \right)\]

(4) 計算課程を下にメモ

\[\left( \begin 2_ & 1 & -3_ & 2_ \\ 3 & 0 & 4 & -1 \\ -2 & 3 & 2 & 0 \end \right) \ \to \\left( \begin 8 & 1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -1 \\ -2 & 3 & 2 & 0 \end \right)\]

３．行列の階数

階段行列とは、下に行けばいくほど左側の0の数が増えていき、 左側の0の隣が0以外の数字 になっているような行列のことを階段行列といいます。*1

\[ \begin &\left( \begin 3 & -1 & 9 & -5 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 3_ & -1_ & 9_ & -5 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -3_ & -2_ & 0_ & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 5_ & 0 & 10_ & -5_ \\ 2_ & 1 & 1_ & 0_ \\ 1 & 0 & 2 & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\end\]

このように全部0の行があって階数が「行数」ではなくなるとき、私は階数（ランク）が減ると勝手に呼んでます。（例：4行の行列でランクが2→ランクが2減った）

なお、多くの試験、例えば大学の定期試験、数検1級、大学院入試問題などでは、階数に関する問題が出た場合は ほぼ確実に行基本変形をすると全部0の行が現れ 、ランクが減る問題がほとんどです。

４．練習してみよう！

次の行列 \( A, B \) を階段行列に直し、階数を求めなさい。

\[A = \left( \begin 2 & -1 & -2 & 9 \\ 4 & 5 & 0 & -3 \\ -2 & -6 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -1 & 4 \end \right) \]

\[B = \left( \begin 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end \right) \]

解答

\[ \begin A = &\left( \begin 2 & -1 & -2 & 9 \\ 4_ & 5_ & 0_ & -3_ \\ -2_ & -6_ & -2_ & 12_ \\ 3_ & 2_ & -1_ & 4_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 2 & -1 & -2 & 9 \\ 14 & 0 & -10 & 42 \\ -14_& 0 & 10_ & -42_ \\ 7 & 0 & -5 & 22 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 2 & -1 & -2 & 9 \\ 14 & 0 & -10 & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -5 & 22 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 2 & -1 & -2 & 9 \\ 7 & 0 & -5 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7_ & 0 & -5_ & 22_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 2 & -1 & -2 & 9_ \\ 7 & 0 & -5 & 21_ \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 14_ & -7 & -14_ & 0 \\ 7 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & -7 & -4 & 0 \\ 7 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 7 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & -7 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & -\frac & 0 \\ 0 & 1 & \frac & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\end\]

行列 \( B \) に関しては、途中 \( a + 2 \) で割るところがあるので、0除算しないように \( a = 2 \) かそれ以外で場合分けが必要である。

\[ \begin B = &\left( \begin 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a_ & 1_ & 1_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a+1_ & 2_ & 1+a_\end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a+2_ & a+2_ & a+2_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1_ & 1_ & a_ \\ 1_ & a_ & 1_ \\ 1 & 1 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & 0 & a-1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end \right)\end\]

となる。また、\( a = -2 \) のときは、

\[ \begin C = &\left( \begin 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2_ & 1_ & 1_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1_ & 2_ & -1_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & -2 \\ 1_ & -2_ & 1_ \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & -2 \\ 0 & -3_ & 3_ \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1_ & -2_ \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end\]

  • \( a = 1 \) のとき、階数は1
  • \( a = -2 \) のとき、階数は2
  • 上記以外、つまり \( a \not=1,-2 \) のとき、階数は3

５．さいごに

公開日： 2019年5月6日 更新日： 2021年8月23日 この記事を書いた人 コメント一覧 aki 2020-12-27 22:47:19 返信 4章のAの解答でrank2 と書かれているが、ここはrank3 ではないでしょうか？ momoyama1192 2020-12-30 00:36:38 返信 >> akiさんRank3であっております。申し訳ございません。ご指摘ありがとうございました。 関連記事 うさぎでもわかるコンパイラ 第4羽 左再帰の除去 うさぎでもわかる線形代数 補充1 線形代数におけるベクトル 内積と外積 うさぎでもわかる解析 補充編1-2 微分・積分、極限、マクローリン展開 うさぎ塾 微積分総復習 Part1 極限編 うさぎでもわかる確率・統計 F分布のいろは③ 一元配置分散分析 うさぎでもわかる解析 Part21 条件付き2変数関数の極値・行列を用いたラグランジュの未定乗数法 うさぎでもわかる信号処理 第04羽 ディジタルシステムの極・零点と安定性 うさぎでもわかる線形代数 第09羽 部分空間その2（和空間・交空間） 主加法標準形・主乗法標準形・リードマラー標準形の求め方 うさぎでもわかる線形代数 第02羽 行列と連立方程式

カテゴリー

各種便利ツール・問い合わせ
  • 【完全無料】離散数学演習ツール・計算機まとめ
    • 【ハッセ図】上界/下界・最大元/最小元・極大元/極小元・上限(最小上界)/下限(最大下界) 判定ツール
    • 【ハッセ図】述語論理（∀・∃）真偽判定ツール
    • 【離散数学】べき集合 2^A・P(A) 自動計算＆全列挙ツール
    • 【離散数学】真理値表 自動作成ツール（途中式あり）
    • 【離散数学】集合の「∈・⊆」真偽チェッカー（答え合わせ用）
    • 【離散数学テスト対策】真理値表の穴埋めガチ演習ツール
    • 【離散数学テスト対策】集合の「∈・⊆」ガチ演習！ 弱点分析つき○×ドリル
    • ももうさ神社
    【真理値表マスター】うさぎでもわかる離散数学 第2羽 ブール代数と論理演算 うさぎでもわかる離散数学 第5羽 順序関係とハッセ図・重要な8つの性質 【新入生必見】ここだけは押さえよう！ 大学生活完全ガイド 10日で完成！ うさぎでもわかる統計的な推測 8日目 イカサマを見抜け！ 仮説検定のいろは うさぎでもわかる確率・統計 重回帰分析 【統計学】出口調査の仕組みを理解するためのいろは

    目次

    1. １．行基本変形における３つのルール
      1. (1) 1つの行を何倍（何分の1倍）する
      2. (2) 2つの行を入れ替える
      3. (3) 1つの行から他の行を何倍かしたものを加えるor引く
      1. (1) 極力分数は出さない
      2. (2) 0が多く、1か-1が含まれている行で他の列に0を作る
      3. (4) 計算課程を下にメモ
      1. 解答

       工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)

      コンピュータグラフィックス コンピュータビジョン
      1. １．行基本変形における３つのルール
        1. (1) 1つの行を何倍（何分の1倍）する
        2. (2) 2つの行を入れ替える
        3. (3) 1つの行から他の行を何倍かしたものを加えるor引く
        1. (1) 極力分数は出さない
        2. (2) 0が多く、1か-1が含まれている行で他の列に0を作る
        3. (4) 計算課程を下にメモ
        1. 解答