2リンクモデルの可操作性楕円体を求めてみよう
$$ \begin \left\< \begin x &=& L_1 \cos \left( \theta_1 \right) + L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \\ y &=& L_1 \sin \left( \theta_1 \right) + L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \end \right. \end $$
２リンクモデルの運動学を求めてみよう！簡単に順運動学の式を算出する方法 ロボット工学を学び、ロボットや機械を制御する際に、順運動学や逆運動学を理解することはとても重要です。 以前の記事で. ヤコビ行列運動学で得た関節状態θとロボット手先状態xの関係式からヤコビ行列Jを算出します。
ヤコビ行列とは、関節速度dθ/dtとロボット手先速度dx/dtの関係を表す行列で、
$$ \begin \boldsymbol < J >&=& \begin \frac< \partial x > < \partial \theta_1 >& \frac< \partial x > < \partial \theta_2 >\\ \frac< \partial y > < \partial \theta_1 >& \frac< \partial y > < \partial \theta_2 >\end \\ &=& \begin – L_1 \sin \left( \theta_1 \right) – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) & – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \\ L_1 \cos \left( \theta_1 \right) + L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) & L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \end \end$$
2リンクモデルのヤコビ行列を算出する方法 ヤコビ行列を用いることで、ロボットの「関節の速度」と「手先の速度」の関係を示すことが出来ます。 https://tajim.この算出したヤコビ行列Jを用いて、2リンクモデルの可操作性楕円体を求めていきます。
可操作性楕円体の算出
この楕円体の軸の向きと大きさは、ヤコビ行列Jから算出できる行列Aから得ることが出来ます。
行列Aの算出可操作性楕円体に必要な行列Aはヤコビ行列を用いて
今回の2リンクモデルにおける行列A（=JJ T ）の各成分は
この行列Aの各成分をヤコビ行列Jの成分から求めると
$$ \begin a_ &=& ^2 + >^2 \\ &=& \left( – L_1 \sin \left( \theta_1 \right) – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right)^2 + \left( – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right)^2 \\ a_ &=& j_ j_ + j_ j_ \\ &=& \left( – L_1 \sin \left( \theta_1 \right) – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \left( L_1 \cos \left( \theta_1 \right) + L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \\ &\quad& + \left( – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \left( L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \\ &=& – \frac ^2 \sin \left( 2 \theta_1 \right) – L_1 L_2 \sin \left( 2 \theta_1 + \theta_2 \right) – ^2 \sin \left( 2 \theta_1 + 2 \theta_2 \right) \\ a_ &=& j_ j_ + j_ j_ \\ &=& \left( L_1 \cos \left( \theta_1 \right) + L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \left( – L_1 \sin \left( \theta_1 \right) – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \\ &\quad& + \left( L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \left( – L_2 \sin \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right) \\ &=& – \frac ^2 \sin \left( 2 \theta_1 \right) – L_1 L_2 \sin \left( 2 \theta_1 + \theta_2 \right) – ^2 \sin \left( 2 \theta_1 + 2 \theta_2 \right) \\ a_ &=& ^2 + ^2 \\ &=& \left( L_1 \cos \left( \theta_1 \right) + L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right)^2 + \left( L_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \right)^2 \end $$
よって、可操作性楕円体を描くために求めたい行列Aは
固有値と固有ベクトルこの算出した行列Aの固有値と固有ベクトルを求めることで、可操作性楕円体の導出します。
行列A
を求めることで、行列Aの固有値λと固有ベクトルvを求めます。
まとめ
次回の記事では、今回の記事の続きとして、算出した行列Aから固有値と固有ベクトルを求めることで、2リンクモデルロボットの可操作性楕円体を作成したいと思います。
2リンクモデルの可操作性楕円体の大きさを固有値の一般解から求める これまでの記事では、ロボットの手先の動かしやすさ示す可操作性楕円体について紹介しています。 https://tajimar.合わせて読みたい