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3羽 片対数・両対数グラフを用いた最小2乗法 - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
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【片対数・両対数グラフ】うさぎでもわかる実験の基礎 第3羽 片対数・両対数グラフを用いた最小2乗法

新型コロナウイルス感染症について，片対数グラフを見かけたり私自身描いているのですが「対数グラフとはなんぞや」ということを伝えたくて漫画を描きました。

「対数グラフで伝染病を見る」（1/3）

サイトにpdfファイルでアップしたのでまとめて読みたい人はこちらにどうぞhttps://t.co/mwrRCkZ6AD pic.twitter.com/0USW9Eil0a

— かずき＠グラフ哲学舎 (@kazukigraph) April 10, 2020

(1) 片対数グラフにプロットしてみよう 経過日数 [日]累計感染者 [人]1921532544357461107157821292871036911456 なぜ対数グラフで直線 = 指数関数的な変化なのか

例えば、\( \log_ x = 1 \) となる \( x \) を満たすためには \( x = 10^1 = 10 \) となればOKですね。

同じように \( \log_ x = 2 \) であれば \( x = 10^2 = 100 \) で満たしますね。

  • \( \log_ x = 3 \) の場合 \( x = 10^3 = 1000 \)
  • \( \log_ x = 4 \) の場合 \( x = 10^4 = 10000 \)
  • \( \log_ x = 5 \) の場合 \( x = 10^5 = 100000 \)

となるように、対数の値が 1, 2, 3, … と等間隔（直線）に増えていく場合、元の数は 1, 10, 100, 1000, … と指数関数（今回は \( 10^x \) 的に）増えていきますね。

(2) 片対数グラフと最小2乗法 (a) 式の導出法

片対数グラフで直線になるということは、縦軸である \( y \) 側のデータを対数で変換すれば直線になると言い換えられますね。

これを数式的に表すと、\( Y = \log_ y \), \( X = x \) とおきかえることで直線 \( Y = aX + b \) が成立すると言い換えられますね。

ここで、直線 \( Y = aX + b \) に対し、\[X = x, \ \ \ Y = \log_ y\]を代入し、もとの \( x \), \( y \) の式に戻してあげると\[\log_ y = ax + b\]となります。

ここで、\[y = 10^ \cdot 10^\]の \( 10^ \) が煩わしいと思った人は \( b' = 10^ \) とでもおいて、\[y = b' 10^\]としてもOKです。

(b) 実際のデータに適用 経過日数 [日]累計感染者 [人]1921532544357461107157821292871036911456

ここからは、「日数」を \( x \) 軸、「感染者数」を \( y \) 軸として説明していきます。

まず、\[X = x, \ \ \ Y = \log_ y\]に変換した後の各データを表に書いてみましょう。

X (日数)Y (感染者数の対数)10.95421.17631.39841.63351.86962.04172.19682.32692.458102.567112.659

このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\beginY & = 0.1725X + 0.8992\\ & = aX + b\end\]となります。

この \( a = 0.1725 \), \( b = 0.8992 \) を変換後の式\[y = 10^ \cdot 10^\]に代入してあげましょう。

片対数グラフにおける回帰直線の求め方

指数関数的な増減をしそうなデータ の回帰直線を求める場合、\[X = x, \ \ \ Y = \log_ y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の \( a \), \( b \) の値を求めると回帰直線\[y = 10^ \cdot 10^\]と変形することができる。

４．両対数グラフについて

(1) 両対数グラフにプロットしてみよう 星の名軌道半径 [地球]公転周期 [地球]水星0.3870.240金星0.7230.615地球1.001.00火星1.521.88木星5.2011.9土星9.5529.5天王星19.284.0海王星30.1165 (2) 両対数グラフと最小2乗法 (a) 式の導出法

両対数グラフを書いて直線になるということは、2つの変数 \( x \), \( y\) に対して\[X = \log_ x, \ \ \ Y = \log_ y\]とおいたときに直線 \( Y = aX + b \) となるといいかえられます。

まず、直線 \( Y = aX + b \) の式に、\( X = \log_ x \), \( Y = \log_ y \) を代入します。すると、\[\log_ y = a \log_ x + b\]となりますね。

（\( b = \log_ b' \) なので \( b' = 10^b \) となる。）

つまり、データが \( x^2 \), \( x^3 \), … , \( x^a \) のようなべき関数*4な変換をするものに対して、両対数がグラフが有効なものといえます。

（もちろん \( x^ \) のように \( a \) が負でもOK）

(b) 実際のデータに適用してみよう 星の名軌道半径 [地球]公転周期 [地球]水星0.3870.240金星0.7230.615地球1.001.00火星1.521.88木星5.2011.9土星9.5529.5天王星19.284.0海王星30.1165

今回は、軌道半径を \( x \)、公転周期を \( y \) としましょう。

ここで、\[X = \log_ x, \ \ \ Y = \log_ y\]とおきます。すると、それぞれの星の \( X \), \( Y \) は下のようになります。

星の名XY水星-0.412-0.620金星-0.141-0.211地球0.0000.000火星0.1820.274木星0.7161.076土星0.9801.470天王星1.2831.924海王星1.4792.217

このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\beginY & = 1.500X + 5.966 \times 10^\\ & = aX + b\end\]となります。

この \( a = 1.500 \), \( b = 5.966 \times 10^ \) を変換後の式\[y = b' x^a \ \ \ ( b' = 10^b )\]に代入してあげましょう。

少し言い換えると、公転周期 \( T \) の2乗は軌道半径 \( a \) の3乗に比例することを示せましたね。

両対数グラフにおける回帰直線の求め方

べき関数的な増減をしそうなデータ の回帰直線を求める場合、\[X = \log_ x, \ \ \ Y = \log_ y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の \( a \), \( b \) の値を求めると回帰直線\[b = \log_ b' \ \to \ b' = 10^b \]より、\[\beginy & = b' \cdot x^a \\ 10^b \cdot x^a\end\]と変形することができる。

５．Excel上で片・両対数版の最小2乗法を計算させる

(1) 片対数グラフの回帰曲線を求める場合

片対数グラフの回帰曲線 \( y = 10^b \cdot 10^ \) の \( a \), \( b' \) の値を求める場合、近似曲線のオプションで「指数近似」を選びましょう。

グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 92.00 e^\]と表示されましたね。（数字の表示桁数は各自で調整しましょう。）

※出た値に \( \frac \) 倍すれば \( 10^ \) の形に直せます。

(2) 両対数グラフの回帰曲線を求める場合

両対数グラフの回帰曲線 \( y = b' \cdot x^a \) の \( a \), \( b' \) の値を求める場合、近似曲線のオプションで「累乗近似」を選びましょう。

グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 0.0004630 x^\]と表示されましたね。

６．さいごに

  • 片対数・両対数グラフの書き方
  • 片対数グラフが有効な例（感染者の増加）
  • 両対数グラフが有効な例（ケプラーの第3法則）
  • Excelで片対数グラフ、両対数グラフを書く方法

*3 : 80,90,100, 200, 300のように100を超えるとさらに値が10倍されるのも \( \log_ 100 = 2 \) が足されているからです。

*4 : 多項式関数でもいいが、多項式関数だと \( x^ \) のような負の次数をもつべき関数が表現できない。

公開日： 2019年9月30日 更新日： 2022年5月25日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 【なぜ当選確実がすぐ出るの？】うさぎでもわかる開票速報の仕組み うさぎでもわかる信号処理 番外編 ブロック図(ブロック線図)の読み方・書き方 うさぎでもわかるC言語における関数の作り方 離散数学 述語論理の補足＋演習問題 うさぎでもわかる計算機システム Part03 固定小数点・浮動小数点 うさぎでもわかる信号処理 第01羽 z変換のいろは 3時間で復習！ グラフ理論（離散数学後期）後編 うさぎでもわかる信号処理 第04羽 ディジタルシステムの極・零点と安定性 【最小2乗法】うさぎでもわかる実験の基礎 第2羽 最小2乗法 うさぎでもわかる複素解析 Part3 複素べき級数の収束半径・複素べき級数の総和

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    目次

    1. １．片対数・両対数グラフとは
      1. (1) 片対数グラフとは
      2. (2) 両対数グラフとは
      1. (1) 対数グラフの1目盛りあたりの単位
      2. (2) 不思議な目盛り間隔の理由
      1. (1) 片対数グラフにプロットしてみよう
        1. なぜ対数グラフで直線 = 指数関数的な変化なのか
        1. (a) 式の導出法
        2. (b) 実際のデータに適用
        1. (1) 両対数グラフにプロットしてみよう
        2. (2) 両対数グラフと最小2乗法
          1. (a) 式の導出法
          2. (b) 実際のデータに適用してみよう
          1. (1) 片対数グラフの回帰曲線を求める場合
          2. (2) 両対数グラフの回帰曲線を求める場合

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          1. １．片対数・両対数グラフとは
            1. (1) 片対数グラフとは
            2. (2) 両対数グラフとは
            1. (1) 対数グラフの1目盛りあたりの単位
            2. (2) 不思議な目盛り間隔の理由
            1. (1) 片対数グラフにプロットしてみよう
              1. なぜ対数グラフで直線 = 指数関数的な変化なのか
              1. (a) 式の導出法
              2. (b) 実際のデータに適用
              1. (1) 両対数グラフにプロットしてみよう
              2. (2) 両対数グラフと最小2乗法
                1. (a) 式の導出法
                2. (b) 実際のデータに適用してみよう
                1. (1) 片対数グラフの回帰曲線を求める場合
                2. (2) 両対数グラフの回帰曲線を求める場合