うさぎでもわかる線形代数 第10羽 グラムシュミットの直交化法・直交行列
つぎの \( \mathbb^3 \) のベクトル\[ \left\< \\frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ 2 \end \right) , \\frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) , \ \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ -1 \end \right) \\right\> \]が正規直交基底になることを確認しなさい。
解答2基底に含まれる3つのベクトルを\[\vec = \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ 2 \end \right) \ \ \ \vec = \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ -1 \end \right) \]とする。
(2) 3つのベクトルが互いに直交することの確認\[\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 1 - 1 + 0 \right) = 0 \\\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 1 + 1 - 2 \right) = 0 \\\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 1 - 1 + 0 \right) = 0 \]より、(2)成立。
直交することを示すときは内積が0であることを示せばいいので分母の数値を考える必要はない。つまり、\[\vec \cdot \vec = 1 - 1 + 0 = 0 \\\vec \cdot \vec = 1 + 1 - 2 = 0 \\\vec \cdot \vec = 1 - 1 + 0 = 0 \]と計算すればOK。
３．グラムシュミットの直交化法
グラムシュミットの直交化法直交化するようなベクトル \( \vec \) をもとめ、長さを1に正規化して \( \vec \) を求める流れとなっています。
例題3\( \mathbb^3 \) の基底\[\vec = \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 2 \\ -1 \\ -2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ -1 \\ -2 \end \right) \]を正規直交化し、正規直交基底をつくりなさい。
解答3\[\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 2 + 1 \right) = \frac < \sqrt>\]なので、\[\begin\vec & = \vec - \left( \vec \cdot \vec \right) \vec \\ & = \left( \begin 2 \\ -1 \\ -2 \end \right) - \frac < \sqrt> \cdot \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \\ & = \frac \left( \begin 4 \\ -2 \\ -4 \end \right) - \frac \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \\ & = \frac \left( \begin 1 \\ 1 \\ -4 \end \right) \end \]となる。
よって、\[ \vec = \frac < | \vec| > \vec = \frac < 3 \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ -4 \end \right) \]となる。（実は \( | \vec | \) の値は求める必要はなく、\( \vec \) の分数部分を無視した\[\left( \begin 1 \\ 1 \\ -4 \end \right)\]の正規化を考えればあっという間に正規化ができる。）
[ここで \( \vec \cdot \vec = 0 \)（直交してるか）の検算]（0であることを確認するだけなので検算のときは分数部分は無視してOK）\[\vec \cdot \vec = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-4) = 0 \]より、直交してることがわかる。
よって、\[ \vec = \frac < | \vec| > \vec = \frac < 3 >\left( \begin -2 \\ -2 \\ -1 \end \right) \]となる。（こちらも \( | \vec | \) の値は求める必要はなく、\( \vec \) の分数部分を無視した\[\left( \begin -2 \\ -2 \\ -1 \end \right)\]の正規化を考えればあっという間に正規化ができる。）
※導出後に\[\vec \cdot \vec = 0 \\ \vec \cdot \vec = 0 \]を検算すること。
４．直交行列
\( n \) 次元ベクトルから作る正規直交基底 \( \vec \), \( \vec \), …, \( \vec \) を並べることで直交行列 \( U \) を \[U = \left( \vec, \vec, \cdots, \vec \right)\]のように作ることができます。
正方行列 \( U \) が\[ ^t\!U U = E \\ ^t\!U = U^ \]を満たすとき、直交行列という。
直交行列の6つの性質直交行列 \( U \) に成り立つ性質
- \( ^t\!U U = U ^t\!U = E \)直交行列とその転置の積（逆もOK）は単位行列
- \( ^t\!U = U^ \)直交行列の転置は逆行列
- \( |U| = \pm 1 \)直交行列の行列式は1か-1（ 行列式が±1だからといって直交行列ではない ところに注意）
- \( | U \vec| = | \vec | \)直交行列を用いた変換でもベクトルの大きさはそのまま
- \( U \vec \cdot U \vec = \vec \cdot \vec \)直交行列を用いた変換でもベクトルの内積はそのまま
- 行列 \( P \) のそれぞれの列（1〜i列）を列ベクトル \( \vec \) とすると、列ベクトルは互いに直交し、大きさは1となる。（正規直交基底から直交行列が作れるので当たり前かも……）
例題3で求めた正規直交基底を並べた行列 \( U \) \[ \beginU & = \left( \vec, \vec, \vec \right)\\ & = \frac < 6 >\left( \begin 3 \sqrt & \sqrt & -4 \\ -3 \sqrt & \sqrt & -4 \\ 0 & -4 \sqrt & -2 \end \right)\end \]が直交行列になることを確認しなさい。
解説4\( \( U ^t\!U \) を計算する。\[ \beginU ^t\!U = & \frac < 36 >\left( \begin 3 \sqrt & \sqrt & -4 \\ -3 \sqrt & \sqrt & -4 \\ 0 & -4 \sqrt & -2 \end \right) \left( \begin 3 \sqrt & -3 \sqrt & 0 \\ \sqrt & \sqrt & -4 \sqrt \\ -4 & -4 & -2 \end \right) \\ = & \frac \left( \begin 36 & 0 & 0 \\ 0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 36 \end \right) \\ = & \left( \begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end \right) = E\end \ \)となり、直交行列であることを確認した。
５．練習問題
練習1\( \mathbb^2 \) の基底\[\vec = \left( \begin 2 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -4 \\ 3 \end \right) \]を正規直交化し、正規直交基底をつくりなさい。
解答1 練習2\( \mathbb^3 \) の基底\[\vec = \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 1 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 2 \\ 1 \\ 0 \end \right) \]を正規直交化し、正規直交基底をつくりなさい。
解答2よって、\[ \vec = \frac < | \vec| > \vec = \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ 2 \end \right) \]となる。（ \( \vec \cdot \vec = 0 \) の確認忘れずに）
\[\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 2 - 1 \right) = \frac < \sqrt>\vec \cdot \vec = \frac < \sqrt> \left( 2 + 1 \right) = \frac < \sqrt>\]なので、\[\begin\vec & = \vec - \left( \vec \cdot \vec \right) \vec - \left( \vec \cdot \vec \right) \vec \\ & = \left( \begin 2 \\ 1 \\ 0 \end \right) - \frac < \sqrt> \cdot \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) - \frac < \sqrt> \cdot \frac < \sqrt> \left( \begin 1 \\ 1 \\ 2 \end \right) \\ & = \frac \left( \begin 4 \\ 2 \\ 0 \end \right)- \frac \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) - \frac \left( \begin 1 \\ 1 \\ 2 \end \right) \\ & = \frac \left( \begin 2 \\ 2 \\ -2 \end \right) \\ & = \left( \begin 1 \\ 1 \\ -1 \end \right) \end \]となる。
※導出後に\[\vec \cdot \vec = 0 \\ \vec \cdot \vec = 0 \]を検算お忘れなく！
６．さいごに
直交化は最初で間違えてしまうと 後ろのベクトルも連動して間違えてしまう ので、直交化をする際には 1つベクトルを求めたら必ず検算する癖をつけましょう 。
公開日： 2019年8月20日 更新日： 2019年8月20日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる解析 Part13 2変数関数の極限の求め方・連続性の確認 うさぎでもわかる確率・統計 t分布のいろは② 母平均の仮説検定 離散数学（情報数学）って何？ どんな役に立つの？ うさぎでもわかる複素解析 Part6 留数定理を用いた実関数の定積分 【MATLAB入門】超基本な9つのテクニック うさぎでもわかる配列と連結リスト うさぎでもわかるモーメント母関数（積率母関数） うさぎでもわかる計算機システム Part05 論理回路の基本編 [基本情報対応] うさぎでもわかる線形代数 第09羽 部分空間その2（和空間・交空間） うさぎでもわかる線形代数 第11羽 線形写像（前編） 線形写像の判定・表現行列カテゴリー
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