点と直線の距離公式：例題と5通りの証明
計算していくと， − a 2 x − a c = b 2 x − b 2 x 0 + a b y 0 x = b 2 x 0 − a b y 0 − a c a 2 + b 2 \begin -a^2x-ac&=b^2x-b^2x_0+aby_0\\ x&=\dfrac \end − a 2 x − a c x = b 2 x − b 2 x 0 + ab y 0 = a 2 + b 2 b 2 x 0 − ab y 0 − a c
あとは， A H = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 AH=\sqrt A H = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2
x − x 0 = − a ( a x 0 + b y 0 + c ) a 2 + b 2 y − y 0 = − b ( a x 0 + b y 0 + c ) a 2 + b 2 x-x_0=\dfrac\\ y-y_0=\dfrac x − x 0 = a 2 + b 2 − a ( a x 0 + b y 0 + c ) y − y 0 = a 2 + b 2 − b ( a x 0 + b y 0 + c )
より， A H = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 ( − a ) 2 + ( − b ) 2 = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 \begin AH&=\dfrac\sqrt\\ &=\dfrac \end A H = a 2 + b 2 ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ ( − a ) 2 + ( − b ) 2
∣ a x 0 + b y 0 + c ∣
x − x 0 , y − y 0 x-x_0,y-y_0 x − x 0 , y − y 0 がきれいな式になるのがおもしろいです。
2. ベクトルを使う証明1次は「法線ベクトル」という高校数学の知識を使う証明です。つまり， a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 a x + b y + c = 0 という直線とベクトル ( a , b ) (a,b) ( a , b ) は垂直になるという性質を使います。→法線ベクトルの3通りの求め方と応用
これを使えば， H H H の座標を求めずに計算できるので証明1より計算が楽です。
H H H の座標を ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) とする。 A H undefined \overrightarrow A H
は l l l の法線ベクトルと平行なので実数 t t t を用いて，
( X − x 0 , Y − y 0 ) = t ( a , b ) (X-x_0, Y-y_0)=t(a, b) ( X − x 0 , Y − y 0 ) = t ( a , b )
と表せる。あとは， H H H が l l l 上にある条件： a X + b Y = − c aX+bY=-c a X + bY = − c を用いて t t t を求めればOK。
上式の両辺に対して ( a , b ) (a,b) ( a , b ) との内積を取ると，
a ( X − x 0 ) + b ( Y − y 0 ) = t a × a + t b × b a(X-x_0)+b(Y-y_0)=ta\times a+tb\times b a ( X − x 0 ) + b ( Y − y 0 ) = t a × a + t b × b
である。これと a X + b Y = − c aX+bY=-c a X + bY = − c より，
− c − a x 0 − b y 0 = t ( a 2 + b 2 ) -c-ax_0-by_0=t(a^2+b^2) − c − a x 0 − b y 0 = t ( a 2 + b 2 )
a 2 + b 2 ≠ 0 a^2+b^2\neq 0 a 2 + b 2 = 0 なので， t = − a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 t=-\dfrac t = − a 2 + b 2 a x 0 + b y 0 + c
よって， A H AH A H の長さ，すなわち t ( a , b ) t(a,b) t ( a , b ) の長さは，
d = ∣ t ∣ a 2 + b 2 = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 \begin d&=|t|\sqrt\\ &=\dfrac \end d = ∣ t ∣ a 2 + b 2
∣ a x 0 + b y 0 + c ∣
3. ベクトルを使う証明2l l l 上の任意の点 B B B の座標を B ( x 1 , y 1 ) B (x_1 , y_1) B ( x 1 , y 1 ) とおく。 H H H の座標を ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) とする。
法線ベクトルを n undefined \overrightarrow n
とおく。 n undefined = ( a , b ) \overrightarrow = (a,b) n
A H undefined \overrightarrow A H
は A B undefined \overrightarrow A B
の n undefined \overrightarrow n
への正射影ベクトルであるため A H undefined = A B undefined ⋅ n undefined ∣ n undefined ∣ 2 n undefined \overrightarrow = \dfrac \overrightarrow A H
∣ A H undefined ∣ = ∣ A B undefined ⋅ n undefined ∣ ∣ n undefined ∣ = ∣ ( O B undefined − O A undefined ) ⋅ n undefined ∣ ∣ n undefined ∣ = ∣ a x 1 + b y 1 − a x 0 − b y 0 ∣ a 2 + b 2 = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 \begin | \overrightarrow | &= \dfrac \\ &= \dfrac \\ &= \dfrac>\\ &= \dfrac> \end ∣ A H
∣ a x 1 + b y 1 − a x 0 − b y 0 ∣ = a 2 + b 2
∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ となる。なお，最後の計算では B B B が l l l 上にあることから a x 1 + b y 1 + c = 0 ax_1 + by_1 + c = 0 a x 1 + b y 1 + c = 0 となることを用いた。
4. 三角形の面積を用いた証明a = 0 a=0 a = 0 のとき，直線 l l l は y = − c b y=-\dfrac y = − b c となるので求める距離は ∣ y 0 + c b ∣ |y_0+\dfrac| ∣ y 0 + b c ∣ となり距離公式は正しい。 b = 0 b=0 b = 0 のときも同様。よって，以下 a , b a,\:b a , b ともに 0 0 0 でない場合を考える。
l l l 上に点 P , Q P,Q P , Q を「 P P P と A A A の x x x 座標が等しく， Q Q Q と A A A の y y y 座標が等しくなる」ようにとる。
P A = p , Q A = q PA=p,\:QA=q P A = p , Q A = q とおくと， P Q = p 2 + q 2 PQ=\sqrt PQ = p 2 + q 2
1 2 p q = 1 2 d p 2 + q 2 \dfracpq=\dfracd\sqrt 2 1 pq = 2 1 d p 2 + q 2
つまり， d = p q p 2 + q 2 d=\dfrac> d = p 2 + q 2
直線の方程式を利用して P P P の y y y 座標を求めることにより， p = ∣ − c − a x 0 b − y 0 ∣ = 1 ∣ b ∣ ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ p=\left|\dfrac-y_0\right|=\dfrac|ax_0+by_0+c| p = ∣
∣ b − c − a x 0 − y 0 ∣
∣ = ∣ b ∣ 1 ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣
q = ∣ − c − b y 0 a − x 0 ∣ = 1 ∣ a ∣ ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ q=\left|\dfrac-x_0\right|=\dfrac|ax_0+by_0+c| q = ∣
∣ a − c − b y 0 − x 0 ∣
∣ = ∣ a ∣ 1 ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣
d = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 d=\dfrac> d = a 2 + b 2
∣ a x 0 + b y 0 + c ∣
5. 点を動かすことによる証明d d d を x 0 x_0 x 0 と y 0 y_0 y 0 の関数とみなし，関数を決定していくという方法です。
l l l を固定したとき， A A A の場所によって d d d が決まるので， d d d は x 0 x_0 x 0 と y 0 y_0 y 0 の関数とみなせる。
まず a x + b y + c ≥ 0 ax+by+c\geq 0 a x + b y + c ≥ 0 の領域に A A A がある場合を考える。
A A A を x x x 軸方向に変化させたときの d d d の変化量は x 0 x_0 x 0 の変化量に比例するので d d d は x 0 x_0 x 0 の一次関数。同様に y 0 y_0 y 0 の一次関数でもある。
よって， d = α x 0 + β y 0 + γ d=\alpha x_0+\beta y_0+\gamma d = α x 0 + β y 0 + γ と書ける。
x 0 x_0 x 0 を a 2 + b 2 \sqrt a 2 + b 2
ずらすと d d d は a a a ずれるので，
β = b a 2 + b 2 \beta=\dfrac> β = a 2 + b 2
また「 a x 0 + b y 0 + c = 0 ax_0+by_0+c=0 a x 0 + b y 0 + c = 0 のとき d = 0 d=0 d = 0 」という状況を，
d = α x 0 + β y 0 + γ = a x 0 + b y 0 a 2 + b 2 + γ \begin d&=\alpha x_0+\beta y_0+\gamma\\ &=\dfrac>+\gamma \end d = α x 0 + β y 0 + γ = a 2 + b 2
a x 0 + b y 0 + γ
γ = c a 2 + b 2 \gamma=\dfrac> γ = a 2 + b 2
よって， d = a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 d=\dfrac> d = a 2 + b 2
a x 0 + b y 0 + c
また， a x + b y + c ≤ 0 ax+by+c\leq 0 a x + b y + c ≤ 0 の領域に A A A がある場合も同様に，
d = − a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 d=-\dfrac> d = − a 2 + b 2
a x 0 + b y 0 + c
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る