フィボナッチ数列の8つの性質（一般項・黄金比・互いに素）

この2式から F n − 1 F_ F n − 1 を消去して F n F_n F n について解くと F n = α n − β n α − β = 1 5 < ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n >\begin F_n &= \dfrac\\ &= \dfrac>\left\\right)^n\right\> \end F n = α − β α n − β n = 5

n = 1 n=1 n = 1 ， n = 2 n=2 n = 2 のときビネの公式が正しいことは簡単に確認できる。

n = k n=k n = k ， n = k + 1 n = k+1 n = k + 1 のときにビネの公式が正しいと仮定すると，

F k + 2 = α k + 1 − β k + 1 α − β + α k − β k α − β = α k + 2 − β k + 2 α − β \begin F_ &= \dfrac-\beta^>+\dfrac-\beta^>\\ &= \dfrac \end F k + 2 = α − β α k + 1 − β k + 1 + α − β α k − β k = α − β α k + 2 − β k + 2

( ∵ α + 1 = α 2 , β + 1 = β 2 ) \because \alpha+1=\alpha^2, \beta+1=\beta^2) ∵ α + 1 = α 2 , β + 1 = β 2 )

となり， n = k + 2 n=k+2 n = k + 2 のときも正しい。

黄金比とは， α = 1 + 5 2 \alpha=\dfrac> α = 2 1 + 5

1 + 5 2 = 1.618 ⋯ \dfrac>= 1.618\cdots 2 1 + 5 = 1.618 ⋯
F 3 F 2 = 2 \dfrac= 2 F 2 F 3 = 2
F 5 F 4 = 5 3 = 1.6666 ⋯ \dfrac= \dfrac= 1.6666\cdots F 4 F 5 = 3 5 = 1.6666 ⋯
F 9 F 8 = 34 21 = 1.6190 ⋯ \dfrac= \dfrac= 1.6190\cdots F 8 F 9 = 21 34 = 1.6190 ⋯

もっと計算して F 100001 F 100000 \dfrac>> F 100000 F 100001 を計算すると，黄金比とほぼ等しくなるでしょう。

lim ⁡ n → ∞ F n + 1 F n = lim ⁡ n → ∞ α n + 1 − β n + 1 α n − β n = α \lim_\dfrac>=\lim_\dfrac-\beta^>=\alpha n → ∞ lim F n F n + 1 = n → ∞ lim α n − β n α n + 1 − β n + 1 = α

( ∵ α > β ) (\because \alpha > \beta) ( ∵ α > β )

フィボナッチ数列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , … 1,1,2,3,5,8,13,21,\dots 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , … について，どの隣り合う2項も互いに素（最大公約数は1）

例えば， 8 8 8 と 13 13 13 の最大公約数は1です。

F k F_k F k と F k − 1 F_ F k − 1 が共通の約数 p ≥ 2 p\geq 2 p ≥ 2 を持つと仮定すると，

F k = m p , F k − 1 = n p F_k=mp,\ F_=np F k = m p , F k − 1 = n p （ただし m , n , p m, n, p m , n , p は整数）と書ける。

F k − 2 = F k − F k − 1 = ( m − n ) p F_=F_-F_=(m-n)p F k − 2 = F k − F k − 1 = ( m − n ) p

F k − 1 F_ F k − 1 と F k − 2 F_ F k − 2 も共通因数 p p p を持つ。

これを繰り返すと F 2 F_2 F 2 と F 1 F_1 F 1 も共通因数 p p p を持つ。

これは F 2 = F 1 = 1 F_2=F_1=1 F 2 = F 1 = 1 に矛盾

このように，通常の数学的帰納法とは逆向きに進めていく帰納法を後ろ向き帰納法（無限降下法）といいます。数学的帰納法に関しては様々なタイプがあるので，数学的帰納法のパターンまとめを参考にしてみてください。

フィボナッチ数列同士の関係式

F m + n = F m − 1 F n + F m F n + 1 F_=F_F_+F_F_ F m + n = F m − 1 F n + F m F n + 1

ただし， m , n m,n m , n は任意の正の整数で， F 0 = 0 F_0=0 F 0 = 0 とする。

フィボナッチ数列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ⋯ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ⋯ について， 2 × 8 + 3 × 13 = 55 2\times 8+3\times 13=55 2 × 8 + 3 × 13 = 55 などが成立するというおもしろい性質です。

性質1（ビネの公式）を使って右辺を計算すると左辺と一致することがわかります。また，以下のように n n n に関する帰納法でも証明できます。

n = 1 n=1 n = 1 のとき， F m + 1 = F m − 1 F 1 + F m F 2 F_=F_F_1+F_F_2 F m + 1 = F m − 1 F 1 + F m F 2 はフィボナッチ数列の漸化式そのものであり成立。
n = 2 n=2 n = 2 のとき，フィボナッチ数列の漸化式を使うと F m + 2 = F m + 1 + F m = F m − 1 + 2 F m = F m − 1 F 2 + F m F 3 \begin F_&=F_+F_\\ &=F_+2F_\\ &=F_F_2+F_F_ \end F m + 2 = F m + 1 + F m = F m − 1 + 2 F m = F m − 1 F 2 + F m F 3 となり成立。
n = k n=k n = k と n = k − 1 n=k-1 n = k − 1 の場合も正しいと仮定して n = k + 1 n=k+1 n = k + 1 の場合を計算すると， F m + k + 1 = F m + k + F m + k − 1 = ( F m − 1 F k + F m F k + 1 ) + ( F m − 1 F k − 1 + F m F k ) = F m − 1 ( F k + F k − 1 ) + F m ( F k + 1 + F k ) = F m − 1 F k + 1 + F m F k + 2 \begin F_&=F_+F_\\ &=(F_F_+F_F_)+(F_F_+F_F_)\\ &=F_(F_+F_)+F_ (F_+F_)\\ &=F_F_+F_F_ \end F m + k + 1 = F m + k + F m + k − 1 = ( F m − 1 F k + F m F k + 1 ) + ( F m − 1 F k − 1 + F m F k ) = F m − 1 ( F k + F k − 1 ) + F m ( F k + 1 + F k ) = F m − 1 F k + 1 + F m F k + 2 となり成立。

性質5（カッシーニの定理）

F n + 1 F n − 1 − F n 2 = ( − 1 ) n F_ F_ - ^2 = (-1)^n F n + 1 F n − 1 − F n 2 = ( − 1 ) n

ただし， n n n は任意の正の整数で， F 0 = 0 F_0=0 F 0 = 0 とする。

n = 1 n=1 n = 1 のとき， F 2 F 0 − F 1 2 = 0 − 1 = ( − 1 ) 2 F_2 F_0 - ^2 = 0-1= (-1)^2 F 2 F 0 − F 1 2 = 0 − 1 = ( − 1 ) 2 より成立する。
n = k n = k n = k で成立すると仮定する。この下で n = k + 1 n = k+1 n = k + 1 のときは F k + 2 F k − F k + 1 2 = ( F k + 1 + F k ) F k − F k + 1 2 = F k 2 + F k + 1 ( F k − F k + 1 ) = F k 2 − F k + 1 F k − 1 = − ( F k + 1 F k − 1 − F k 2 ) = ( − 1 ) k + 1 \begin &F_ F_ - >^2\\ &= (F_ + F_k) F_k - >^2\\ &= ^2 + F_ (F_k - F_)\\ &= ^2 - F_ F_\\ &= - (F_ F_ - ^2)\\ &= (-1)^ \end F k + 2 F k − F k + 1 2 = ( F k + 1 + F k ) F k − F k + 1 2 = F k 2 + F k + 1 ( F k − F k + 1 ) = F k 2 − F k + 1 F k − 1 = − ( F k + 1 F k − 1 − F k 2 ) = ( − 1 ) k + 1 より成立する。

添え字との関連性質6（Divisibility）

m , n m,n m , n を 3 3 3 以上の整数とする。

F n F_n F n が F m F_m F m の倍数 ⟺ \iff ⟺ n n n が m m m の倍数。

フィボナッチ数列 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ⋯ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ⋯ について， 3 3 3 つおきに F 3 = 2 F_3=2 F 3 = 2 の倍数が登場， 4 4 4 つおきに F 4 = 3 F_4=3 F 4 = 3 の倍数が登場， 5 5 5 つおきに F 4 = 5 F_4=5 F 4 = 5 の倍数が登場，という性質です！

ゼッケンドルフの定理余りの周期性

p p p を素数とし， p ≠ 2 , 5 p\neq 2,5 p  = 2 , 5 とする。フィボナッチ数列を p p p で割った余りを並べた数列の周期について，

p p p を 5 5 5 で割った余りが 1 1 1 または 4 4 4 なら，周期は p − 1 p-1 p − 1 の約数

p p p を 5 5 5 で割った余りが 2 2 2 または 3 3 3 なら，周期は 2 ( p + 1 ) 2(p+1) 2 ( p + 1 ) の約数

初項を a 0 = 2 a_0 = 2 a 0 = 2 に取り換えるとまた異なる面白い数列が現れます。→ リュカ数の意味とおもしろい性質

a n = a n − 1 + a n − 2 + a n − 3 a_ = a_ + a_ + a_ a n = a n − 1 + a n − 2 + a n − 3 のように漸化式の項数を増やした数列もおもしろいです。 → トリボナッチ数列、テトラナッチ数列とその一般項

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎