うさぎでもわかる信号処理・制御工学 第09羽 フーリエ級数展開の仕組みと計算方法
同じようにして、\[\begin\cos mx \cos nx = \frac \cos (m-n) x + \frac \cos (m+n) x\end\]なので、\[\begin &\int^_ \cos mx \cos nx \ dx\\ = & \ \frac \int^_ \cos(m-n) x \ dx + \frac \int^_ \cos (m+n) x \ dx\\ = & \ 0\end\]と計算できる。
最後に公式2の \( m = n \) の場合も確かめておきましょう。この積分は0にならないので要注意です。
フーリエ級数展開で用いる三角関数の公式3\[\int^_ \sin nx \sin nx \ dx = \int^_ \sin^2 nx \ dx = \pi \]\[\int^_ \cos nx \cos nx \ dx = \int^_ \cos^2 nx \ dx = \pi\]となる。
\[\begin\int^_ \sin^2 nx \ dx & = \frac \int^_ ( 1 - \cos 2mx ) \ dx\\ & = \frac \int^_ 1 \ dx - \frac \int^_ \cos 2m \ dx\\ & = \frac \int^_ 1 \ dx - 0\\ & = \frac \left[ x \right]^_\\ & = \frac \cdot 2 \pi\\ & = \pi\end \]となる。（途中で公式1を使用しています。）
３．周期が2πの場合のフーリエ級数展開の公式
こちらで、周期 \( T \) が \( 2 \pi \) の場合について説明し、次の第4章で \( 2\pi \) 以外に拡張したバージョンの2つにわけて紹介しています。
(1) 計算公式まずは周期関数 \( f(t) \) の周期 \( T \) が \( 2 \pi \) に固定されたバージョンを説明したいと思います。
周期2πのフーリエ級数展開の公式 周期 \( 2 \pi \) の区分的に連続な周期関数*2 \( f(t) \) のとき、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \left( a_k \cos k t + b_k \sin k t \right)\]と表せる*3。ただし、フーリエ係数 \( a_k \), \( b_k \) は\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos kt \ dt \ \ (k = 0,1,2,3, \cdots) \]\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin kt \ dt \ \ (k = 1,2,3, \cdots)\]となる。
※積分範囲は \( - \pi \) から \( \pi \) ではなく、例えば \( 0 \) から \( 2 \pi \) としてもよい。 とにかく \( 2 \pi \) 分が長さに入っていればOK *4。
つまり、周期関数 \( f(t) \) を 偶関数 \( \cos t \), \( \cos 2t \), \( \cos 3t \), …… と奇関数 \( \sin t \), \( \sin 2t \), \( \sin 3t \), …… を用いて表せる よってことなのです！
少し難しい用語を使うと、周期関数 \( f(t) \) を偶関数 \( \cos t \), \( \cos 2t \), \( \cos 3t \), …… と奇関数 \( \sin t \), \( \sin 2t \), \( \sin 3t \), …… の 1次結合 で表せるってことです！
しかし、フーリエ係数 \( a_k \), \( b_k \) の求め方が複雑だったりなぜか初期値が \( \frac \) となってたり \( b_0 \) がなかったりしますね。
(i) 初期値の導出 \( a_0 \)まずは初期値のフーリエ係数 \( a_0 \) の公式導出方法です。\[f(t) = \frac + a_1 \cos t + a_2 \cos 2t + \cdots b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + \cdots\]の両辺を \( - \pi \) から \( \pi \) で定積分しましょう。
(ii) cos の項の導出 \( a_k \)つぎに偶関数 \( \cos kx \) のフーリエ係数 \( a_k \) を導出してみましょう。\[f(t) = \frac + a_1 \cos t + a_2 \cos 2t + \cdots b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + \cdots\]の両辺に \( \cos kt \) を掛けましょう。
すると、\[f(t) \cos kt = \left( \frac + a_1 \cos t + a_2 \cos 2t + \cdots b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + \cdots \right) \cos kt\]となりますね。
さらに両辺を \( - \pi \) から \( \pi \) で定積分しましょう。
と計算できます。よって、\[\int^_ f(t) \cos kt \ dt = a_k \pi\]より、\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos kt \ dt\]と導出できます。
ここで初項 \( a_0 \) を考えてみましょう。初項の場合は \( k = 0 \) なので、\[\begina_0 & = \frac \int^_ f(t) \cos 0 \ dt\\ & = \frac \int^_ f(t) \ dt\end\]となり、\( a_k \) と同じ形で表現することができますね！
初項をあえて \( a_0 / 2 \) にしているのは \( a_k \) と同じ形にするため だったのです！*5
(iii) sin の項の導出 \( b_k \)最後に奇関数 \( \sin kx \) のフーリエ係数 \( b_k \) を導出してみましょう。\[f(t) = \frac + a_1 \cos t + a_2 \cos 2t + \cdots b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + \cdots\]の両辺に \( \sin kt \) を掛けましょう。
すると、\[f(t) \sin kt = \left( \frac + a_1 \cos t + a_2 \cos 2t + \cdots b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + \cdots \right) \sin kt\]となりますね。
さらに両辺を \( - \pi \) から \( \pi \) で定積分しましょう。
と計算できます。よって、\[\int^_ f(t) \sin kt \ dt = b_k \pi\]より、\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin kt \ dt\]と導出できます。
ところで \( \cos \) の初項 \( a_0 \) はあったのになぜ \( \sin \)の初項 \( b_0 \) がないのかと思った人もいるかもしれません。
先ほどの公式に \( b = 0 \) を入れてみると、\[b_0 = \frac \int^_ f(t) \sin 0 \ dt = 0\]となり、\( \sin 0 \) のおかげで0になってしまいます。
なので、 奇関数の初項 \( b_0 \) は計算する必要がない のです！
(2) f(t)が偶関数・奇関数の場合周期関数 \( f(t) \) が偶関数・奇関数の場合はより少ない計算量でフーリエ級数展開を求めることができます。
(i) f(t) が偶関数の場合\( f(t) \) が偶関数の場合、\( f(t) \) と \( \sin kt \) の積 \( f(t) \sin kt \)は 奇関数となります ね。なので、\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin kt \ dt = 0\]となります。
(ii) f(t) が奇関数の場合\( f(t) \) が奇関数の場合、\( f(t) \) と \( \cos kt \) の積 \( f(t) \cos kt \)は 奇関数となります ね。なので、\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos kt \ dt = 0\]となります。（もちろん \( a_0 = 0 \) です。）
周期 \( 2 \pi \) の周期関数 \( f(t) \) が偶関数のとき、\( b_k = 0 \) となる。なので、フーリエ級数展開は\[f(t) \approx \frac + \sum^_ a_k \cos k t \]となる。（フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。）
また、周期関数 \( f(t) \) が奇関数のとき、\( a_0 = 0 \), \( a_k = 0 \) となる。なのでフーリエ級数展開は、\[f(t) \approx \sum^_ b_k \sin k t\]となる。（フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。）
４．周期Tの場合のフーリエ級数展開の公式
先ほどは周期が \( 2 \pi \) の場合に固定したフーリエ級数展開の公式についてまとめました。
ですが、実際の周期関数（波形とか）が \( 2 \pi \) に固定されてるなんてそんな都合のいいことはありませんね。例えば安静時の心電図の波形の周期は約1秒弱*6ですし、コンセントから供給される電源は50Hzか60Hzなので17〜20ミリ秒周期ですね。
周期 \( 2\pi \) だったものが周期 \( T \) に変化すると、単位時間あたりに進む波の速さは、\[\frac\]倍となります。
ここで、物理をやったことがある人なら「見たことあるような式」だなと思ったかもしれません。実はこれ、角速度*7 \( \omega \) を求める式と全く同じなのです！ なので、\[\omega = \frac\]としてあげましょう。
すると、周期 \( 2\pi \) だった場合のフーリエ級数の式\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \left( a_k \cos k t + b_k \sin k t \right)\]の \( t \) が \( \omega t \)（\( \omega \) 倍）となり、周期 \( T \) の場合のフーリエ級数展開の式は\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \left( a_k \cos k \omega t + b_k \sin k \omega t \right)\]と書き換えられます。
\( t \) が \( \omega t \) となったので \( a_k \), \( b_k \) の値も当然変わりますね。それぞれ計算していきましょう。
まず周期 \( 2 \pi \) の場合の \( a_k \), \( b_k \) の積分範囲を \( - \pi \to \pi \) から \( 0 \to 2\pi \) と書き換えます*8。
\( t = \omega s \) とおくと、\( a_k \), \( b_k \) の積分範囲、\( dt \) と \( ds \) の関係式は\[dt = \omega \ ds = \frac \ ds , \ \ \ 0 \to T\]となりますね。
よって、積分式は、\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos kt \ dt = \frac \int^< T >_ < 0 >\cos k \omega s \ ds\]\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin kt \ dt = \frac \int^< T >_ < 0 >\sin k \omega s \ ds\]と変化します。
あとは変数 \( s \) を \( t \) に戻すことで\[a_k = \frac \int^< T >_ < 0 >f(t) \cos k \omega t \ dt , \ \ \b_k = \frac \int^< T >_ < 0 >f(t) \sin k \omega t \ dt\]となります。
周期Tのフーリエ級数展開の公式 周期 \( T \) の区分的に連続な周期関数 \( f(t) \) のとき、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \left( a_k \cos k \omega t + b_k \sin k \omega t \right)\]と表せる。ただし、\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos k \omega t \ dt \ \ (k = 0,1,2,3, \cdots) \]\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin k \omega t \ dt \ \ (k = 1,2,3, \cdots)\]となる。
※積分範囲は \( 0 \) から \( T \) ではなく、例えば \( -T/2 \) から \( T/2 \) としてもよい。 とにかく1周期分積分していれば どこでもよい。
周期が \( 2 \pi \) から \( T \) になっても周期関数が \( f(t) \) が偶関数・奇関数の場合は計算を楽にすることができます。
周期 \( T \) の周期関数 \( f(t) \) が偶関数のとき、\( b_k = 0 \) となる。なので、フーリエ級数展開は\[f(t) \approx \frac + \sum^_ a_k \cos k \omega t \]となる。（フーリエ余弦級数、フーリエ・コサイン級数と呼ばれます。）
また、周期関数 \( f(t) \) が奇関数のとき、\( a_0 = 0 \), \( a_k = 0 \) となる。なのでフーリエ級数展開は、\[f(t) \approx \sum^_ b_k \sin k \omega t\]となる。（フーリエ正弦級数、フーリエ・サイン級数と呼ばれます。）
例題下の図ような周期関数\[f(t) = t( \pi - t) = -t^2 + t \pi\]を考える。
解説\( f(t) \) は連続関数なので、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \left( a_k \cos k \omega t + b_k \sin k \omega t \right)\]とフーリエ級数展開できる。
また、周期が \( \pi \) なので角速度 \( \omega \) は、\[\omega = \frac< 2 \pi> = 2\]となる。
さらにグラフより \( f(-t) = f(t) \) が成り立つので \( f(t) \) は偶関数である。よって \( b_k = 0 \) となり、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ a_k \cos 2k t\]となる。
(i) \( k = 0 \)、つまり \( a_0 \) のとき
(ii) \( k \geqq 1 \)、つまり \( a_k \) のとき
計算式は、\[ \begina_k & = \frac \int^_ (-t^2 + t \pi) \cos 2kt \ dt\\ & = \frac \left[ \frac (- t^2 + t \pi) \sin 2kt - \left( - \frac (- 2t + \pi) \cos 2kt \right) + \left( - \frac (-2) \cdot \sin 2kt \right) \right]^_\\ & = \frac \left[ \frac (- 2t + \pi) \cos 2kt \right]^_\\ & = \frac \left( \frac ( - \pi - \pi ) \right)\\ & = - \frac\end\]となる。
５．フーリエ級数展開を用いた無限級数の求め方
先ほど求めた周期が \( \pi \) の周期関数\[f(t) = t( \pi - t) = -t^2 + t \pi\]に \( t = 0 \) を代入すると、\[\beginf(0) & = \frac \pi^2 - \sum^_ \frac \cos 0\\ & = \frac \pi^2 - \sum^_ \frac = 0\end\]が成立しますよね。
ただし、このようにフーリエ級数展開から無限級数を求める際には、 代入する \( t \) の値において必ず連続である （グラフが途切れていない）ことが条件となります。
６．練習問題
練習1(1) \( f(t) \) のフーリエ級数展開を求めなさい。
練習2下の図のような周期関数\[f(t) = |\sin t \ |\]を考える。\( f(t) \) のフーリエ級数展開を求めなさい。
練習3(1) \( f(t) \) のフーリエ級数展開を求めなさい。
７．練習問題の答え
解答1\( f(-t) = f(t) \) が成立するので、\( f(t) \) は偶関数である。また、周期 \( T \) は2なので、角速度 \( \omega \) は\[\frac = \pi\]となる。よって、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ a_k \cos k \pi t\]とフーリエ級数展開できる。
(i) \( k = 0 \)、つまり \( a_0 \) のとき
(ii) \( k \geqq 1 \)、つまり \( a_k \) のとき
\[ \begina_k & = \frac \int^_ |t| \cos k \pi t \ dt\\ & = 2 \int^_ t \cos k \pi t \ dt\\ & = 2 \left[ \frac \sin k \pi t - \left( - \frac \cos k \pi t \right) \right]^_\\ & = 2 \cdot \frac \cdot \left( \cos k \pi - 1 \right)\\ & = \frac \left( (-1)^k - 1 \right)\end \]となる。
よって、フーリエ級数展開は\[f(t) \approx \frac + \sum^_ \frac \left( (-1)^k - 1 \right) \cos k \pi t\]と求められる。
\( f(t) \) は \( t = 0 \) において連続なので \( f(t) \) とフーリエ級数展開の値が \( t = 0 \) において一致する。よって、\( t = 0 \) を代入すると、\[\beginf(0) & = \frac + \sum^_ \frac \left( (-1)^k - 1 \right) \cos 0\\ & = \frac + \frac \sum^_ \left( (-1)^k - 1 \right)\\ & = 0\end\]となる。
解答2\( f(-t) = f(t) \) が成立するので、\( f(t) \) は偶関数である。また、\( f(t) \) の周期 \( T \) は \( \pi \) なので、角速度 \( \omega \) は\[\frac = 2\]となる。よって、\[f(t) \approx \frac + \sum^_ a_k \cos 2k t\]とフーリエ級数展開できる。
(i) \( k = 0 \)、つまり \( a_0 \) のとき
\( 0 \leqq t \leqq 1 \) において \( \sin t \geqq 0 \) なので、\( | \sin t \ | = \sin t \) である。よって、\[ \begina_0 & = \frac \int^_ \sin t \ dt\\ & = \frac \left[ - \cos t \right]^_\\ & = \frac (1 + 1)\\ & = \frac\end \]となる。
(ii) \( k \geqq 1 \)、つまり \( a_k \) のとき
解答3となる。グラフより、\( g(-t) = - g(t) \) が成立するので \( g(t) \) は奇関数となる。
さらに周期 \( T \) は \( \pi \) なので角速度 \( \omega \) は\[\frac = 2\]となる。よって、\[g(t) \approx \sum^_ b_k \sin 2k t\]とフーリエ級数展開できる。
\( b_k \) の値は、\[\beginb_k & = \frac \int^_ f(t) \left( \frac - \frac \right) \sin 2k t \ dt\\ & = \frac \left[ - \frac \left( \frac - \frac \right) \cos 2k t - \left( - \frac \right) \left( - \frac \cdot \left( - \frac \right) \right) \sin 2k t \right]^_\\ & = \frac \left[ - \frac \left( \frac - \frac \right) \cos 2k t\right]^_\\ & = \frac \left( - \frac \cdot \left( - \frac \right) - \frac \cdot \frac \right)\\ & = \frac \cdot \frac\\ & = \frac\end\]となる。
８．さいごに
\( = \) ではなく \( \approx \) となっているのは、関数 \( f(t) \) がある点 \( t \) において連続ではない場合、 \( f(t) \) とフーリエ級数展開の結果が一致しないことがあるためです。
（逆にいうと、関数 \( f(t) \) がある点 \( t \) において連続であれば、フーリエ級数展開と \( f(t) \) の値が一致するので等号 \( = \) となる。）
*4 : 例えば、\[a_k = \frac \int^_ f(t) \cos kt \ dt \ \ (k = 0,1,2,3, \cdots)\]\[b_k = \frac \int^_ f(t) \sin kt \ dt \ \ (k = 1,2,3, \cdots)\]としてもOKである。
*5 : \( a_k \) の \( k \) が1スタートではなく0スタートなのもこれが理由。
*9 : \( -1/2 \) がついているのは \( (-1)^k - 1 \) の部分が偶数のとき0、奇数のとき-2となるため。\( -1/2 \) にすることで \( k \) が奇数のときだけうまく \( 1/k^2 \) を足すことができる。
公開日： 2019年10月6日 更新日： 2024年2月28日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる信号処理 第05羽 ディジタルシステムの周波数特性・振幅特性・位相特性 うさぎでもわかるC言語における関数の作り方 4時間で復習！ 1年後期解析学総まとめ 前編 うさぎでもわかる微分方程式 Part08 未定係数法を用いた定数係数線形微分方程式の特殊解の求め方 うさぎでもわかるオートマトンと言語理論 第01羽 決定性オートマトン(DFA)とは うさぎでもわかる線形代数 第02羽 行列と連立方程式 うさぎでもわかる離散数学 番外編1 数学的帰納法 うさぎでもわかる信号処理 第02羽 z変換・逆z変換の計算 関数の対称性 偶関数と奇関数と定積分 うさぎでもわかるオートマトンと言語理論 第09羽 正規表現と有限オートマトンカテゴリー
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