Blochの定理に関する補足とブリルアンゾーンの意味

Blochの定理とは、一つの電子が周期的なポテンシャルを受ける場合に、その波動関数が、 \[\psi_\b(\b+\b)=e^\cdot\b>\psi_\b(\b)\tag\] を満たすという定理だった。\(\b\)は結晶の並進ベクトル。(1)式から、周期ポテンシャル中の波動関数は、並進演算子\(\hat_\b\)の固有関数になっていて、その固有値が\(e^\cdot\b>\)であることがわかる。なぜなら、(1)は \[\hat_\b\psi_\b(\b)=e^\cdot\b>\psi_\b(\b)\tag\] ということを示しているのにほかならないからだ。(だからといって別にこれ以上意味があるわけでも無いのだが。)

2.Blochの定理の\(\b\)の決まり方

3.ブリルアンゾーン

(4)はとても大事な結果である。これは\(\psi_\b\)と\(\psi_\)という状態が、並進演算子\(\hat_\b\)に対して同じ固有値を持っていることを表しているのだ。つまり、位相の違いはあるかも知れないから近似イコールで表すが、 \[\psi_\fallingdotseq \psi_\b\] みたいなことを意味している。

ブリルアンゾーン

説明するために、まずは簡単に、下の図のような二次元の正方格子を考えよう。\(\b_1,\b_2\)は逆格子ベクトルの基底 (逆格子空間の基本並進ベクトル) である。任意の逆格子ベクトルは\(\b=n_1\b_1+n_2\b_2\)と書けるのだ。

ブリルアンゾーンと特別な名前がついている。

4.ブリルアンゾーンについてのまとめ

ちなみに、この方法で作ったcellのことは、Wigner-Seitz Cellと呼ばれる。説明がわかりにくかったら、Wigner-Seitz Cellで検索すればわかりやすい図があるはずだ。

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎