【４】条件収束する無限積の収束性（Cauchy's test）

収束はするが絶対収束しない無限積は「条件収束する」といいます。前回記事の定理3.6で、 $\sum z_n$ が絶対収束することと $\prod(1+z_n)$ が絶対収束することは同値である と示しました。したがって、条件収束する無限積の特徴は「無限積自身は収束するけど $\sum |z_n|$ は発散する」「無限積自身は収束するけど $\prod(1+|z_n|)$ は発散する」ということです。具体例を見てみましょう。

級数との関係 ― 条件収束か発散か？

$P=\prod(1+z_n)$ , $S=\sum z_n$ とします。冒頭で述べたように、$P$ , $S$ は、共に絶対収束するか共に絶対収束しないかです。例題4.1では $P$ , $S$ ともに条件収束しています（$S$ はライプニッツの定理により収束するため）。そこで絶対収束と同様に「$P$ , $S$ は、共に条件収束するか共に条件収束しない」が成り立つのだろうか？という疑問が湧きます。これが事実なら、無限積は「絶対収束」「条件収束」「発散」のいずれかであるとを考えると

$P$ が絶対収束することと $S$ が絶対収束することは同値（証明済）
$P$ が条件収束することと $S$ が条件収束することは同値（？？？）
$P$ が発散することと $S$ が発散することは同値（？？？）

といえることになり、大変分かりやすいでしょう（ちなみに $z_n$ がすべて正項であれば絶対収束＝収束なので2番目は無い）。ところがこの期待は、次の例によりすぐさま打ち砕かれます。

$S$ については部分和$$S_=1+\frac+\cdots+\frac\to +\infty$$で発散する。一方、部分積は\beginP_&=& \prod_^n(1+a_)(1+a_) \\&=& \prod_^n\left(1+\frac>\right)\end$\frac>$ が正項であることから、ここの定理2.1より $P_$ は収束する。$P_$ も収束するとすぐに分かる。よって $P$ は収束する。$S$ が絶対収束しないことから、$P$ は条件収束である。

$2$ 以上の自然数 $n$ について $$a_n=\frac>$$とする。このとき $P=\prod(1+a_n)$ は発散し、$S=\sum a_n$ は条件収束する。

例題4.2は「$P$ は収束するが $S$ は発散する」、例題4.3は「$P$ は発散するが $S$ は収束する」という例です。よって、先ほどの対応関係については

$P$ が絶対収束することと $S$ が絶対収束することは同値（証明済）
$P$ が条件収束することと $S$ が条件収束することは同値でない
$P$ が発散することと $S$ が発散することは同値でない

ということになります。したがって $S=\sum z_n$ が絶対収束であれば $P=\prod(1+z_n)$ もそうですので、$P$ が収束すると分かりますが、条件収束する可能性があれば 無限積 $P$ の収束性を調べるために、単純に無限級数 $S$ の収束性を調べても機能しないのです 。

Cauchy's Test

では無限積の収束性を調べるのに、無限級数を使う手法はないのでしょうか。そこで条件を１つ足して次のように判定する方法があります。以下、$z_n\neq -1$ とします（仮に $z_n=-1$ なる項が有限個あっても、取り除いて考えます）。

２乗の級数を用いた収束・発散判定定理4.1 Cauchy's Test

$\sum |z_n|^2$ が収束するとする。このとき $\sum z_n$ と $\prod(1+z_n)$ は共に収束するか、共に発散する。

$\sum z_n$ , $\sum |z_n|^2$ が収束するならば、$\prod (1+z_n)$ は収束する。

実数の場合（もう１つの発散判定）

$a_n\in\RR$ , $\sum a_n$ が収束するとする。このとき $\prod(1+a_n) $ が収束するならば、$\sum a_n^$ も収束する。

【証明】$a_n\to 0$ より十分大きな $n$ では $1+a_n>0$ である。$\ln(1+x)$ のマクローリン展開から$$0\le x-\ln(1+x)=\frac+O(x^3)\quad(x\to 0)$$$$\therefore\quad \lim_\frac>=\frac$$よって$$\exists N\in\NN,\; \forall n\ge N,\;\left|\frac>-\frac\right|\fraca_n^\quad(\forall n\ge N)$$和をとって$$\sum_^n a_k-\sum_^n\ln(1+a_k)>\frac\sum_^na_k^\ge 0$$この左辺第1項は収束することから、$\sum \ln(1+a_k)$ が収束すれば $\sum a_k^$ も収束する。定理3.2より $\prod(1+a_n)$ が収束すれば $\sum a_n^$ も収束する。【証明終】

$a_n\in\RR$ , $\sum a_n$ が収束するとする。このとき $\sum a_n^$ が発散するならば、$\prod(1+a_n) $ も発散する。

奇妙に思える例

$\sum z_n$ と $\sum|z_n|^2$ が共に発散するのに、$\prod(1+z_n)$ は収束する例があります。系4.4と見比べると、何だか変な感じがします。無限積の条件収束のややこしさが見て取れますね。

$S_$ が調和数を含むので、明らかに $\sum a_n$ は発散。同じ理由で $\sum a_n^$ も発散。一方$$(1+a_)(1+a_)=1-\frac$$となるので、$\sum\frac$ は収束することから、定理2.2より $P_$ は収束する。したがって $P_$ も収束することがすぐに分かる。よって無限積は収束する。

Cauchy's Testとその関連定理の例題

$\sum a_n$ はライプニッツの定理により収束。$\sum a_n^2$ は調和数となって発散。系4.4より無限積は発散。

$n\in\NN$ に対し$$a_n=\begin\dfrac\quad &(n:\mathrm)\\\dfrac\quad &(n:\mathrm)\end$$ とする。無限積 $\prod(1+a_n)$ は収束するか。

調和数が現れるので $\sum a_n$ は発散。一方 $\sum a_n^$ は収束する。定理4.1より無限積は発散。

以上から定理4.1より $f,g$ は $s>\frac$ で収束する。

参考文献

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