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行列式(det)の定義と現実的な求め方～計算の手順～

\begin 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end,\begin 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end, \begin 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end, \\ \begin 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end, \begin 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end, \begin 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end

に対応しています。3次の行列式は覚えなくてもよいですが， サラスの方法 という暗記法があります。以下の記事を参照してください。

サラスの公式で3次の行列式を求める方法を図解 「サラスの公式」または「サラスの方法 (Sarrus' rule) 」とは，3次正方行列の行列式(det)を求める記憶術を指します。これがどういうものか，図解を交えて解説しましょう。 mathlandscape.com 三角行列の行列式

三角行列の行列式

A = \begin a_ & a_ & \dots & a_ \\ & a_ & \dots & a_ \\ &&\ddots&\vdots \\ \huge&&& a_ \end

の行列式は \color \det A = a_a_ \dots a_ である。

a_ a_ \dots a_ 以外の項は積の中に必ず 0 が含まれるため，消えるわけです。

行列式の計算手順

行列式の計算は，もちろん定義通り計算しても構いません。しかし，たとえば 4 \times 4 行列の場合，足し算の数は 4! =24 個にもなってしまうため，あまり現実的ではありません。そこで，現実的な計算手順について，順を追って解説します。

行列式の現実的な計算手順

現実的な計算手順は，順に

  1. 行列の基本変形を用いて0を増やす(特に1行目or1列目)
  2. 1行目or1列目に注目して展開する
  3. 得られた小さな行列式に対して手順1-2を繰り返す
  4. 2次・3次または三角行列の行列式に帰着させ，計算する
1. 行列の基本変形を用いて0を増やす(特に1行目or1列目)

まずは 行列の基本変形を用いて，1行目 or 1列目の成分がある程度 0 になるように しましょう。行列の基本変形とは，次の3つの変形です。

行列の基本変形 基本変形行列式ある行（列）の 倍を他の行（列）に加える 変化なし 2つの行（列）を入れ替える \boldsymbol 倍 ある行（列）を < c \ne 0 >倍する \boldsymbol < c>倍

このことを留意して，係数を調整しながら， ある程度計算しやすいところまで 基本変形していきましょう。

注意ですが，このステップでは無理に計算しすぎなくて良いです。頑張って計算すれば三角行列にできるため，行列式が求まりますが，たとえば各成分に変数が含まれている場合，複雑な計算をすることになってしまうため，そこまでする必要はありません。ある程度同じ行・列に 0 が集まればOKと思い，次のステップに進みましょう。

2. 1行目or1列目に注目して展開する

定理（行列式に関する等式）

A を n 次正方行列とする。 A_ を A から i 行と j 列を取り除いた n-1 次正方行列の行列式とすると，

(-1)^ A_ を 余因子 と言います。これを図にすると，以下のようになります。

これ自身の証明は，余因子行列の定義と余因子展開～逆行列になる証明～で行っています。 これを用いて，行列式を展開しましょう。

このとき，手順1の効果で， a_ = 0 (または a_ = 0 ) の項は消えますね。

なお，一般に1行目or1列目以外の行・列に注目して展開することも可能ですが，手順1で「2つの行（列）を入れ替えること」を行って，1行目or1列目に移動させてから展開すると考えればよいでしょう。

3. 得られた小さな行列式に対して手順1-2を繰り返す 4. 2次・3次または三角行列の行列式に帰着させ，計算する 行列式の計算の例題

例題

\color \begin 1 & 7 & 2 &4 \\ 1 & 5 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & -3 \\ \end を計算せよ。

  1. 行列の基本変形を用いて0を増やす(特に1行目or1列目)
  2. 1行目or1列目に注目して展開する
  3. 得られた小さな行列式に対して手順1-2を繰り返す
  4. 2次・3次または三角行列の行列式に帰着させ，計算する

でした。これを用いて手順通りに計算すると，解答例は以下のようになります。最短手順とは限らず，別の変形をしても構いません。 係数に気を付けましょう。

計算機やコンピューターを利用するのもアリ

応用数学の研究などでは，計算機を用いて計算するのが一般的です。たとえば，WolframAlphaを用いれば，インターネット上でも計算することができます。本格的に計算するためには，MathematicaやPython, Julia, R, Fortran, Mapleなどのプログラミング言語を利用すればよいでしょう。

行列式の性質

以下で，複素数 \mathbb は実数 \mathbb に変えても成立します。

定理（行列式の性質）

1. 行列式は，各列に関して線形性がある。すなわち， \boldsymbol \in \mathbb^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol \in \mathbb^n を n 次元列ベクトル， s,t\in \mathbb とすると，

\small \begin &\det (\boldsymbol, \dots , \boldsymbol>, \textcolor+t\boldsymbol>, \boldsymbol>,\dots, \boldsymbol) \\ =&\textcolor \det (\boldsymbol, \dots , \boldsymbol>, \textcolor>, \boldsymbol>,\dots, \boldsymbol) \\ &+ \textcolor\det (\boldsymbol, \dots , \boldsymbol>, \textcolor, \boldsymbol>,\dots, \boldsymbol). \end

また同様に，行列式は各行に関して線形性がある。すなわち， \boldsymbol \in \mathbb^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol \in \mathbb^n を n 次元行ベクトル， s,t\in \mathbb とすると，

\small \begin &\det \begin \boldsymbol \\ \vdots \\ \boldsymbol> \\ \textcolor +t\boldsymbol> \\ \boldsymbol> \\ \vdots \\ \boldsymbol \end \\ &= \textcolor\det \begin \boldsymbol \\ \vdots \\ \boldsymbol> \\ \textcolor> \\ \boldsymbol> \\ \vdots \\ \boldsymbol \end +\textcolor\det \begin \boldsymbol \\ \vdots \\ \boldsymbol> \\ \textcolor \\ \boldsymbol> \\ \vdots \\ \boldsymbol \end .\end

2. 転置行列の行列式は元のそれと同じ。すなわち， \color\det A = \det A^\top.

3. （列・行の入れ替え） \sigma\in S_n を置換とする。このとき，太字を列ベクトルとすると，

太字を行ベクトルとすると，

特に， 2つの列（または行）を入れ替えると，行列式は \color -1 倍になる。

4. 2つの列（または行）が等しい行列式の値は \color 0 である。

5. 行列式と積は可換である。すなわち， A,B を n 次正方行列とするとき，

\color \det (AB) = \det A \det B.

6. A が正則のとき， \color\det (A^) = (\det A)^ .

行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)

行列式の性質のうち，特に大事な6つの性質（線形性・転置行列と行列式・列,行の置換・同じ列,行を持つ行列式は0,det AB = det A det B, det(A^) = (det A)^)を証明します。最後には，行列の基本変形と行列式の関連性についても考えます。

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おわりに

特別な行列式

サラスの公式で3次の行列式を求める方法を図解 「サラスの公式」または「サラスの方法 (Sarrus' rule) 」とは，3次正方行列の行列式(det)を求める記憶術を指します。これがどういうものか，図解を交えて解説しましょう。 mathlandscape.com ファンデルモンドの行列式とその証明2つ

ファンデルモンドの行列式 (ヴァンデルモンドの行列式; Vandermonde determinant) といわれる特殊な行列式について紹介し，それを因数定理を用いた方法と帰納法を用いた方法の2通りの方法で証明します。

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特殊で有用な行列式の計算の一つに，巡回行列 (circulant matrix) における行列式 (det) の計算が挙げられるでしょう。これについて，巡回行列の定義とその行列式の計算方法を紹介・証明します。

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