【数Ⅲ複素数平面】入試で問われやすい z+1/z を対処する
(1) $\displaystyle z+\frac=\sqrt$ を満たす複素数 $z$ の値を求めよ。また、このとき $\displaystyle \alpha=z^+\frac$ の値を求めよ。 (2) $\displaystyle z+\frac$ が実数となるような複素数 $z$ が表す複素数平面上の点全体は、どのような図形を表すか。 (3) $\displaystyle z+\frac$ が実数となる複素数 $z$ と、$\displaystyle \left|w-\left(\frac+2i\right)\right|=\frac$ を満たす複素数 $w$ について、$|z-w|$ の最小値を求めよ。（名古屋工業大）
ド・モアブルを使う
(1) から考えます。$\displaystyle z+\frac=\sqrt$ は普通に方程式と考えて解いてしまいます。 $\displaystyle z+\frac=\sqrt$ 全体に$\times z$ をして $\displaystyle z^2+1=\sqrtz$ $z^2-\sqrtz+1=0$ $\displaystyle z=\frac$ $\displaystyle =\frac$ $\displaystyle =\frac\pm \fraci$ （答え）
次に $\displaystyle \alpha=z^+\frac$ を求めます。 まずは、$z^$ を求めるのですが、こうやって指数に大きな数がきたらド・モアブルの定理です。
ド・モアブルの定理 $(\cos \theta+i \sin \theta)^n = \cos +i \sin $ド・モアブルの定理を使うために、複素数を極形式に直しましょう。 $\displaystyle z=\frac>\pm \fraci$ $\displaystyle =\cos\frac\pm i\sin\frac$ よって $\displaystyle z^=\left(\cos\frac\pm i\sin\frac\right)^$ $\displaystyle =\cos\frac\pi\pm i\sin\frac\pi$
$\displaystyle \frac\pi$ っていくら？ 三角関数って $2\pi$ で一周回ってもとに戻るんだった。$\sin 0=\sin 2\pi=\sin 4\pi\cdots$ みたいな感じ。何回転かしてるからの部分を取り除く。 $\displaystyle \frac=\frac$ としてその中から $2\pi$ のかたまりを取り除きます。 $\displaystyle 2=\frac$ だから $50$ のなかに $6$ がいくつ入るか考えると良い。$50=6\times 8+2$ だから、$\displaystyle\cos\frac\pi=\cos\frac\pi$ よって $\displaystyle z^=\cos\frac\pi\pm i\sin\frac\pi$ $\displaystyle =-\frac\pm \fraci$ となる。これを $\displaystyle \alpha=z^+\frac$ に代入します。
上と計算手順はほぼ同じ。 $=-1$ どちらも $-1$ となるので、 $\displaystyle \alpha=z^+\frac=-1$（答え）実数の条件から図形を描く
複素数 $z$ が実数であるとき $z$=$\bar z$ どうしてこれ成り立つの？ ざっくりおさらい。 $z=a+bi$ とすると $\bar z=a-bi$ $z$ が実数のとき $b=0$ だから $z=a,\bar z=a$ よって $z=\bar z$この条件を問題文の式に当てはめると $\displaystyle z+\frac=\bar+\frac\enspace(z\not =0)$ $\displaystyle z-\bar z-+\frac-\frac=0$ $\displaystyle z-\bar z+\frac=0$ $\displaystyle z-\bar z-\frac=0$ 全体に $z\bar z$ をかけて $(z-\bar z)z\bar z-(z-\bar z)=0$ $(z-\bar z)(z\bar z-1)=0$
ここの式変形は慣れないと対処できないヤツだから、繰り返し練習しておくべし。ここで $=0$ が成り立つのは $z-\bar z=0$ または $z\bar z-1=0$ のときです。 よって $z=\bar z$ または $|z|^2=1$ $z=\bar z$ は $z$ が実数であるということで、どんな実数でも成り立ちます。つまり、実数全体です。従って すべての実数と原点を中心とする半径 $1$ の円。(ただし原点を除く）（答え）
問題文の式から、分母が $0$ になってはいけないから $z\not =0$ の条件が出来ることを見逃さないように。図を描いて解決する
先ほどの (2) から $z$ は原点中心の半径 $1$ の円か実軸上でした。まず、$z$ が円上の点である場合から考えます。
問題文より、$w$ は $\displaystyle \left(\frac,2\right)$ を中心とする半径 $\displaystyle \frac$ の円の上にあります。そして $|z-w|$ は $z$ と $w$ の間の距離で、要するにその最短距離を求めようということです。
そして、最短距離は上の図で示した通り、原点から $w$ の描く円の中心$P$に引っぱった直線上になります。まずは、三平方の定理を使って直線$OP$の長さを求めましょう。
次に $z$ が実軸上である場合を考えると今度は $PQ$ から円の半径を引けば良さそうです。 $\displaystyle 2-\frac=\frac\cdots\text$ ①、②を比べて最小値は $\displaystyle\frac$ （答え）