[別館]球面倶楽部零八式markIISR
東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。
1989年(昭和64年)東京大学-数学(文科)[4]
半径 の円 のまわりに一辺の長さ の正三角形 を円 と同一平面内で次の二条件を満たしながら可能な限り移動させる．(i) は円 の内部と共有点を持たず，円 の周とただ一点を共有する．
(ii) ベクトル ， ， はそれぞれ一定に保たれる．
このとき， の通過し得る範囲を図示して，その面積 を求めよ．さらに， の面積を とするとき， としたときの極限値 を求めよ．
[大人の解答] 半径 の円を ，与えられた正三角形を とすると求める図形は となる．は一辺 の正六角形だから，面積が であり，周の長さは である．
よって の面積は となるので，求める面積は となる．
とすると， は の面積，つまり一辺が の正六角形の面積に近づき，これは の面積 の6倍だから，求める極限は 6
問題の意味するところを理解して，図の概略が描ければよい．極限の部分は単に を代入するだけであるが，円 が1点につぶれた場合に の通過し得る範囲は正六角形となる．これは前半がわからなくても独立に求められるが，実は前半部分のヒントになっている．