不偏標本分散の意味とn-1で割ることの証明
E [ ∑ i = 1 n ( x i − μ + μ − x ‾ ) 2 ] = E [ ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 + 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) ( μ − x ‾ ) + ∑ i = 1 n ( μ − x ‾ ) 2 ] = E [ ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 + 2 ( μ − x ‾ ) ∑ i = 1 n ( x i − μ ) + n ( μ − x ‾ ) 2 ] = E [ ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ] − n E [ ( μ − x ‾ ) 2 ] E\left[\displaystyle\sum_^n(x_i-\mu+\mu-\overline)^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_^n(x_i-\mu)^2+2\sum_^n(x_i-\mu)(\mu-\overline)+\sum_^n(\mu-\overline)^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_^n(x_i-\mu)^2+2(\mu-\overline)\sum_^n(x_i-\mu)+n(\mu-\overline)^2\right]\\ =E\left[\displaystyle\sum_^n(x_i-\mu)^2\right]-nE\left[(\mu-\overline)^2\right] E [ i = 1 ∑ n ( x i − μ + μ − x ) 2 ] = E [ i = 1 ∑ n ( x i − μ ) 2 + 2 i = 1 ∑ n ( x i − μ ) ( μ − x ) + i = 1 ∑ n ( μ − x ) 2 ] = E [ i = 1 ∑ n ( x i − μ ) 2 + 2 ( μ − x ) i = 1 ∑ n ( x i − μ ) + n ( μ − x ) 2 ] = E [ i = 1 ∑ n ( x i − μ ) 2 ] − n E [ ( μ − x ) 2 ]
- 母分散の定義より E [ ( x i − μ ) 2 ] = σ 2 E[(x_i-\mu)^2]=\sigma^2 E [( x i − μ ) 2 ] = σ 2 なので第一項は n σ 2 n\sigma^2 n σ 2
- 第三項の期待値部分は，標本平均 x ‾ \overline x の分散であり，各 x i x_i x i は独立なので分散が和に分解できる： E [ ( μ − x ‾ ) 2 ] = V [ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ] = 1 n 2 V [ x 1 + x 2 + ⋯ + x n ] = 1 n 2 ( n σ 2 ) = σ 2 n E[(\mu-\overline)^2]\\ =V\left[\dfrac\right]\\ =\dfracV[x_1+x_2+\cdots +x_n]\\ =\dfrac(n\sigma^2)\\ =\dfracE [( μ − x ) 2 ] = V [ n x 1 + x 2 + ⋯ + x n ] = n 2 1 V [ x 1 + x 2 + ⋯ + x n ] = n 2 1 ( n σ 2 ) = n σ 2
n σ 2 − n × σ 2 n = ( n − 1 ) σ 2 n\sigma^2-n\times\dfrac=(n-1)\sigma^2 n σ 2 − n × n σ 2 = ( n − 1 ) σ 2
x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots, x_n x 1 , ⋯ , x n が互いに独立に平均 μ \mu μ ，分散 σ 2 \sigma^2 σ 2 の正規分布に従うとき，
( n − 1 ) u 2 σ 2 \dfrac σ 2 ( n − 1 ) u 2 は自由度 n − 1 n-1 n − 1 のカイ二乗分布に従います→不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布。
自由度 n − 1 n-1 n − 1 のカイ二乗分布の期待値は n − 1 n-1 n − 1 なので E [ u 2 ] = σ 2 E[u^2]=\sigma^2 E [ u 2 ] = σ 2 が分かります。
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る