うさぎでもわかる微分方程式 Part00 微分方程式ってなに？
このときの \( t = 5 \) 秒後の高さ \( x \) は重力加速度を 9.8 \( [ \mathrm ] \) とすると、\[\beginx & = - \frac gt^2 + V_0 t + h\\ & = - \frac \cdot 9.8 \cdot 5^2 + 50 \cdot 5 + 0\\ & = 127.5\\ & \fallingdotseq 1.3 \times 10^2\end\]と計算することができます。
６．練習問題
練習1 練習2(1) 一般解を求めなさい。(2) 初期条件 \( y(1) = 0 \) を満たす特解を求めなさい。
練習3(1) 一般解を求めなさい。(2) 初期条件 \( y(1) = 1 \) を満たす特解を求めなさい。
練習4(1) 一般解を求めなさい。(2) 初期条件 \( y(1) = e \) を満たす特解を求めなさい。
７．練習問題の解答
解答1(a)\[\frac - 5x^2 = 0\]微分項 \( y \) の掛け算となっていないので線形。
一番階数が多い項は \( \frac \) の1階なので、1階微分方程式。
\( \left( \frac \right)^2 \) の部分が微分項の掛け算になっているので非線形。
一番階数が多い項は \( \left( \frac \right)^2 \), \( \frac \) の1階なので1階微分方程式。
微分項 \( y \) の掛け算となっていないので線形。
一番階数が多い項は \( \frac \) の2階なので2階微分方程式。
\( (x+2)(y+2) \frac \) の項が \( \frac \) と \( y \) の掛け算となっているので非線形。
一番階数が多い項は \( (x+2)(y+2) \frac \) の1階なので1階微分方程式。
解答2直接積分形の微分方程式なので、一般解は任意定数 \( C \) を用いて\[\beginy & = \int \frac \ dx\\ & = \frac \int \frac \ dx\\ & = \frac \log (x^2 + 3) + C\end\]となる。
初期条件 \( y(1) = 0 \) なので、\( x = 1 \) のとき \( y = 0 \) を満たす。
ここで、\( x = 1 \) を代入すると、\[\beginy & = \frac \log (x^2 + 3) + C\\ & =\frac \log 4 + C\\ & = \frac \log 2^2 + C\\ & = \log 2 + C\\ & = 0\end\]となるので、\( C = - \log 2 \) となる。
よって、特解は\[y = \frac \log (x^2 + 3) - \log 2\]となる。
解答3直接積分形の微分方程式なので、一般解は任意定数 \( C \) を用いて \[ \beginy & = \int \frac \ dx\\ & = \int \left( 1 - \frac \right) \ dx\\ & = \int 1 \ dx - \int \frac \ dx\\ & = x - \tan^ x + C\end \]となる。
初期条件 \( y(1) = 1 \) なので、\( x = 1 \) のとき \( y = 1 \) を満たす。
ここで、\( x = 1 \) を代入すると、\[\beginy & = x - \tan^ x + C\\ & = 1 - \tan^ 1 + C\\ & = 1 - \frac + C\\ & = 1\end\]となるので、\( C = \frac \) となる。
解答4直接積分形の微分方程式なので、一般解は任意定数 \( C \) を用いて\[\beginy & = \int x^2 e^x \ dx\\ & = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C\\ & = \left( x^2 - 2x + 2 \right) e^x + C\end\]となる。
初期条件 \( y(1) = e \) なので、\( x = 1 \) のとき \( y = e \) を満たす。
ここで、\( x = 1 \) を代入すると、\[\beginy & = \left( x^2 - 2x + 2 \right) e^x + C\\ & = e + C\\ & = e\end\]となるので、\( C = 0 \) となる。
よって、特解は\[y = \left( x^2 - 2x + 2 \right) e^x + C\]となる。
８．さいごに
- 微分方程式ってなに？
- 微分方程式の種類について
- 簡単な微分方程式を解いてみよう！
*1 : この微分方程式は、直接積分形なので、任意定数 \( C \) を用いて\[\beginy & = \int 2x + 3 \ dx\\ & = x^2 + 3x + C\end\]と簡単に解くことができます。直接積分形については、本記事の第3章をご覧ください。
*4 : 念のため、なぜ任意定数が必要なのかを説明すると、例えば \( f(x) \) を微分して\[\frac = 2x\]になるような関数としては、\( f(x) = x^2 \) のほかに、\( f(x) = x^2 + 1 \) や \( f(x) = x^2 + 114514 \) など様々な数があります。そのような数は無限にあるのでいちいち書いていたらキリがありませんですね。そこで、任意定数 \( C \) を用いて、\[f(x) = x^2 + C\]のようにあらわすことですべての解を表現しているのです。
*5 : 初期条件は、ある1点の条件 \( y(x) = y \) を指します。例えば、\( y(2) = 3 \) であれば、\( x = 2 \) のとき、\( y \) の値は \( y = 3 \) となることを指します。一方、境界条件は、2点 \( y(x_1) = y_1 \), \( y(x_2) = y_2 \)、あるいは2点以上の条件を指します。境界条件という言葉は、どちらかというと常微分方程式よりも偏微分方程式を解く場合によく使われます。
*6 : 「直接積分形っぽくない？」と思う人もいるかもしれませんが、右辺が \( f(x) \) ではなく、\( f(y) \) になっているので直接積分形ではありません。
*7 : 途中計算式を以下に記します。まず、\[\frac \frac = 1\]のように変形してから、両辺に \( dx \) をかけて\[\int \frac \ dy = \int 1 \ dx\]の積分計算の形にします。\[\begin\int \frac \frac & = \int \frac \ dy\\ & = \int \frac - \frac\\ & = \log | y - 1 | - \log | y |\\ & = \log \left| \frac \right|\end\]\( x \) に関する積分計算。\[\int 1 \ dx = x\]あとはお互いの積分結果を等号で結び、形をきれいにすればOK。\[\begin\log \left| \frac \right| & = x + C' \\\left| \frac \right| & = C' e^x \\\pm \frac & = C' e^x \\\frac & = C e^x \\1 - \frac & = C e^x \\\frac & = 1 - C e^x \\y & = \frac \end\]※途中で \( C = \pm e^ \) とおいた。
公開日： 2020年3月28日 更新日： 2023年10月5日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる線形代数 第09羽 部分空間その2（和空間・交空間） うさぎでもわかる微分方程式 Part04 完全微分方程式と積分因子 うさぎでもわかる離散数学 番外編1 数学的帰納法 うさぎでもわかる複素解析 Part1 複素数の基礎・複素数平面・オイラーの公式 うさぎでもわかる信号処理・制御工学 第11羽 フーリエ変換 z変換で差分方程式（漸化式）を解いてみよう！ うさぎでもわかる解析 Part15 合成関数の偏微分 1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 5日目 母集団の標本調査・中心極限定理 うさぎでもわかるネットワーク Part04 LAN / WAN うさぎでもわかる微分方程式 Part01 変数分離形（1階微分方程式）カテゴリー
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