うさぎでもわかる微分方程式 Part01 変数分離形（1階微分方程式）
(1) ある時刻 \( t \) （日目）における物質量が \( y(t) \) [g] だったとき、\( y(t) \) が満たす微分方程式を書きなさい。(2) (1) で求めた微分方程式の一般解を求めなさい。(3) ある放射線物質の初期の量が10 [g]、つまり \( y(0) = 10 \) とする。このときの特解を比例定数 \( k \) を用いて求めなさい。(4) ある放射線物質の半減期は4日だった。(3)の特解から比例定数 \( k \) を求めなさい。(5) (4)の放射線物質が10[g]あるとする。10日後の放射線物質の量を有効数字2桁で求めなさい。
６．練習問題の答え
解答1まず、変数分離形にするために左辺を \( y \) の式 × \( \frac \)、右辺を \( x \) の式に変形してみよう。すると、\[\frac \cdot \frac = \frac\]と変形できる。
よって、両辺を \( x \) で積分すると、\[\int \frac \cdot \frac \ dx = \int \frac \ dx\]となるので、\[\int \frac \ dy = \int \frac \ dx\]を計算することで一般解を求められる。
よって、一般解は任意定数 \( C \) を用いて、\[\log | y | = \frac \log (x^2 + 1) + C \]と求められる。
ここで、\( C = \frac \log D_1 \) とおくと、\[\log | y | = \frac \log (x^2 + 1) + \frac \log D_1\]となるので、\( \log \) の計算法則により、\[\log | y | = \frac \log D_1 (x^2 + 1) \]となるので、\[|y| = \sqrt \sqrt \]\[y = \pm \sqrt \sqrt\]となる。さらに \( D_2 = \pm \sqrt \) とおくことで、\[y = D_2 \sqrt\]と y = の式に変形することができる。
初期条件 \( y(1) = 2 \) なので、\( x = 1 \) のとき \( y = 2 \) を満たす。
ここで、(1)の解に \( x = 1 \), \( y = 2 \) を代入すると、\[\begin\log 2 = \frac \log 2 + C\end\]となるので、\( C = \frac \log 2 \) となる。
よって、特解は\[\log | y | = \frac \log (x^2 + 1) + \frac \log 2\]となる。
y = の形の場合だと、\( D_2 = \sqrt \) となるので、\[y = \sqrt< 2 (x^2 + 1) >\]が答え。
解答2変数分離形にするために左辺を \( y \) の式 × \( \frac \)、右辺を \( x \) の式に変形しよう。
両辺を \( xy \) で割ると、\[\frac \frac + \frac = 1\]となる（ただし \( x \neq 0 \), \( y \neq 0 \) に注意）ので、さらに移項させると\[\frac \frac + \frac = 1\]と変形できる。
さらに、両辺を \( x \) で積分すると、\[\int \frac \frac \ dx = 1 - \frac \ dx\]となるので、\[\int \frac \ dy = \int 1 - \frac \ dx\]を計算することで一般解を求められる。
よって、一般解は任意定数 \( C \) を用いて\[\log y = x - 2 \log x + C\]となる。
なお、y = の形に変形すると\[\begin\log y & = \log e^x - \log x^2 + \log e^C \\ & = \log \frac\end \]となるので、任意定数を \( D = e^C \) とおきなおし、\[y = \frac\]としてもよい。
初期条件 \( y(1) = e \) なので、\( x = 1 \) のとき \( y = e \) を満たす。
ここで、(1)の解に \( x = 1 \), \( y = e \) を代入すると、\[\begin\log e & = 1 - \log 1 + C\\ & = 1 + C\\ & = 1\end\]となるので、\( C = 0 \) となる。
よって、特解は\[\log y = x - 2 \log x \]となる。
解答3放射線物質の物質量 \( y(t) \) は、比例速度 \( k \) に比例して崩壊するので、\[\frac = k y(t)\]となる。\( k \) は負の値なので、マイナスをつけないように注意！
以下、\( y(t) \) を \( y \) と記す。
変数分離形にするために左辺を \( y \) の式 × \( \frac \)、右辺を \( t \) の式に変形しよう。すると、\[\frac \cdot \frac = k\]と変形できる。
よって、両辺を \( t \) で積分すると、\[\int \frac \cdot \frac \ dx = \int k \ dt\]となるので、\[\int \frac \ dy = \int k \ dt\]を計算することで一般解を求められる。
よって、一般解は任意定数 \( C \) を用いて\[\log y = kt + C\]となる。
なお、y = の形に変形すると\[\begin\log y = \log e^ + \log e^C\end \]となるので、任意定数を \( D = e^C \) とおきなおし、\[y = C e^\]としてもよい。
初期条件 \( y(0) = 10 \) なので、\( t = 0 \) のとき \( y = 10 \) を満たす。
ここで、(1)の解に \( t = 0 \), \( y = 10 \) を代入すると、\[\begin\log 10 = C\end\]となるので、\( C = \log 10 \) となる。
よって、特解は\[\log y = kt + \log 10\]となる。
y = の形の場合だと、\( D = 10 \) となるので、\[y = 10 e^\]が答え。
半減期が4日なので、\( t = 4 \) のとき、\( y = 5 \) （初日は \( y = 10 \) だったので半減期経過すると物質は半分）となる。つまり、\[\log 5 = 4k + \log 10\]となる。変形すると、\[-4k = \log 2\]となるので、比例定数 \( k \) は、\[k = - \frac \log 2\]となる。（確かに \( k \) が負になってるね！）
なお、時間経過 \( t \) と、物質量 \( y \) のグラフを下に示しているので参考までにどうぞ。
７．さいごに
- ニュートンの冷却の法則
- ロジスティック方程式
- 放射線崩壊の崩壊速度
*1 : 厳密には合成関数の微分を使い、\[\begin\frac \frac & = \frac \left( \int \frac \ dy \right) \frac\\ & = \frac \int \frac \ dy\end\]と変形できるので、\[\frac \int \frac \ dy = g(x) \]の両辺を \( x \) で積分し、\[\int \frac \ dy = \int g(x) \ dx\]とすることで一般解を算出できる。
*3 : 比例定数を、\[k \left(1 - \frac \right)\]とすることで、\( y \) が \( L \) に近づけば近づくほど比例定数が減り、\( y = L \) となると比例定数が0になる式ができあがる。
*4 : 計算過程により微妙に結果が変わります。例えば、\( \frac > \) の \( \sqrt \) に1.4を入れると、1.79 になります。
公開日： 2020年3月30日 更新日： 2021年12月13日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 本田圭佑のじゃんけんから確率統計を学ぶ うさぎでもわかる線形代数 補充3 平面の方程式 うさぎでもわかる微分方程式 Part12 対角化を用いた連立微分方程式の解き方と指数行列（演習編） うさぎでもわかるネットワーク Part02 IPアドレスのあれこれ うさぎでもわかる確率・統計 F分布のいろは③ 一元配置分散分析 うさぎでもわかる線形代数 応用編第8羽 擬似逆行列 (一般化逆行列) うさぎでもわかる微分方程式 Part07 オイラーの微分方程式 うさぎでもわかる計算機システム（基本情報） Part16 磁気ディスクの構造とアクセス時間の求め方 うさぎでもわかる微分方程式 Part00 微分方程式ってなに？ うさぎでもわかる微分方程式 Part02 同次形（u = y/x と置くタイプ）カテゴリー
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