うさぎでもわかる解析 Part04 マクローリン展開・テイラー展開
まずは5次の項まで求めてみます。\[\beginf(x) = \sin x, \ \ \ f(0) = \sin 0 = 0 \\f'(x) = \cos x, \ \ \ f'(0) = \cos 0 = 1 \\f''(x) = - \sin x, \ \ \ f''(0) = - \sin 0 = 0 \\f'''(x) = - \cos x, \ \ \ f'''(0) = - \cos 0 = -1 \\f''''(x) = \sin x, \ \ \ f''''(0) = \sin 0 = 0 \\f'''''(x) = \cos x, \ \ \ f'''''(0) = \cos 0 = 1 \\\end\]となります。あとは公式に代入します。\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \frac x^3 + \frac x^4 + \frac x^5\\ & = x - \frac x^3 + \frac x^5\end \]となる。
\( n \) 次の項までに求めるためには、\( n \) 次導関数を求める必要がある。
\( e^x \) の \( n \) 次導関数は \( e^x \) なので、\( n \) 次導関数は、\[\beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \cdots +\frac(0)> x^n \\ & = 1 + x + \frac x^2 + \cdots + \frac x^n\\ & = \sum_^ \frac x^k\end \]となる。
主要な関数のマクローリン展開\[\begin e^x = 1 + x + \frac x^2 + \frac x^3 + \frac x^4 + \frac x^5 + \cdots \\ \sin x = x - \frac x^3 + \frac x^5 + \cdots \\ \cos x = 1 - \frac x^2 + \frac x^4 - \frac x^6 + \cdots \\ \frac = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \cdots\\ \frac = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots\\ \tan^ x = x - \frac x^3 + \frac x^5 - \frac x^7 + \cdots\\ \log (1 + x) = x - \frac x^2 + \frac x^3 - \frac x^4 + \frac x^5 + \cdots\end\]
２．テイラー展開
テイラー展開をすると、、関数 \( f(x) \) の\( x \fallingdotseq 0 \) だけでなく、様々な \( x \) のときの近似を考えることができるようになります（様々な \( x \) のまわりでの展開ができるようになります）。
※マクローリン展開は \( a = 0 \) のときの展開
テイラー展開の \( x - a \) の部分は、\( x \) が \( a \) に近づけば近づくほど \( x - a \) は0に近づきますね。\( x - a \) の部分が0に近ければ近いほど、マクローリン展開と同じように誤差を小さくなります。
例題2\( \log x \) を \( x = 1 \) のまわりで4次の項までテイラー展開しなさい。
解答2３．オイラーの公式
\( e^x \), \( \sin x \), \( \cos x \) のマクローリン展開は、つぎのような式で現れます。
マクローリン展開の \( e^x \) を \( e^ \) にチェンジしましょう。
さらに、この公式に \( x = \pi \) を代入すると、オイラーの定理\[ e^ = -1 \]を示すことができます。
４．マクローリン展開を用いた近似計算
例題3\( \log 1.1 \) の近似値を求めなさい。
解説3\( \log (1+x) \) の3次までのマクローリン展開は、\[\log (1+x) \fallingdotseq x - \frac x^2 + \frac x^3\]となります。
あとは、\( x = 0.1 \) を代入してみましょう。 \[\begin & x - \frac x^2 + \frac x^3 \\ \fallingdotseq & \frac - \frac \cdot \frac + \frac \cdot \frac \\ = & 0.1 - 0.005 + 0.0003 = 0.0953\end \] となり、0.0953と求めることができます。
実際に \( \log 1.1 \) の計算をExcelや関数電卓ですると、0.0953102…となり、マクローリン展開を用いてうまく近似計算することができます*1。
５．マクローリン展開を用いた極限計算
\( \sin x \), \( e^x \), \( \cos x \), \( \tan x \) などのマクローリン展開を3次の項まで覚えておくと、ロピタルの定理を使ってもどうにもならない極限を求めることができます（ただし、正当法ではないので指示されたとき以外は記述答案では書かないことをおすすめします）。
例題4次の極限計算を \( e^x \) のマクローリン展開を用いてしなさい。\[ \lim_ x \log x = \lim_ \frac \]
解説4形を見ると、分母に \( x^2 \) の項があるので、不定形を解消するためには \( x^2 \) の項までのマクローリン展開が必要なことがわかります（3次以上の項を適用しないように注意）。2次の項まで求めると、\[ e^x = 1+ x + \frac x^2 \]となります。
上の極限式に代入すると、\[ \lim_ \frac x^2 - 1 - x> = \frac \]と求めることができます。
６．マクローリン展開の誤差見積もり
\( n \) 次のマクローリン展開をした場合でも、\( n + 1 \) 次以降の項は計算されないため、その分の誤差が発生しますね。関数 \( f(x) \) を \( n \) 次マクローリン展開したときの誤差は \( R_ (x) \) で表されます。この \( n + 1 \) の添字は、\( n + 1 \) 次以降の誤差という意味だと思ってください。
なので誤差は \( R_4 (x) \) で表されます。
また、関数を \( f(x) \) （無限の項までマクローリン展開した結果と等しい）と、関数 \( f(x) \) を \( n \) 次マクローリン展開したときの誤差 \( R_ (x) \) は、
\[ R_ (x) = f(x) - \left(f(0) + \frac x + \frac x^2 + \cdots + \frac(0)> x^n\right)\]と表されます。これを剰余項といい、この誤差は \[ R_ (x) = \frac (\theta x)> x^ \] であらされます。この \( \theta \) は角度ではなく、\( 0 \lt \theta \lt 1 \) の範囲にある変数だと思ってください。
\( \theta x \) のことをまとめて \( c \) などの変数とし、 \[ R_ (x) = \frac (c)> x^ \]として表す表記もあります。このときの \( c \) の範囲は、\( 0 \lt c \lt x \) だと思ってください（最大 \( x \) の誤差が発生する的な意味と考えてください）。
マクローリン展開の誤差の見積もり無限に微分できる関数 \( f(x) \) を \( n \) 回マクローリン展開したときの元の関数との誤差（剰余項） \( R_ \) は、\[ R_ (x) = \frac (\theta x)> x^ \]もしくは\[ R_ (x) = \frac (c)> x^ \]で表される。
ただし、\( 0 \lt \theta \lt 1 \)、\( 0 \lt c \lt x \) である。
例題5(1) \( e^x \) を5次の項までマクローリン展開しなさい。(2) \( x = 1 \) を代入し、\( e^x \) の値を小数第3位まで見積もりなさい。(3) (2)の誤差が0.01未満であることを示しなさい。必要であれば \( e \lt 3 \) を使ってもよい。
解説5\( e^x \) の5次までのマクローリン展開は、\[ e^x = 1 + x + \frac x^2 + \frac x^3 + \frac x^4 + \frac x^5 \] と表される。
\( x = 1 \) を代入すると、\[ \begin & 1 + 1 + \frac + \frac+ \frac + \frac \\ = & 2.5 + \frac + \frac + \frac \\ = & 2.5 + \frac \\ = & 2.5 + 0.217 = 2.717\end\]となる。
今回は5次の項までの求めたので誤差は6次の項以降になる。よって \( R_6 (1) \) をもとめればよい。\[ R_ (1) = \frac (c)> = \frac>\]となる。ここで、\( x = 1 \) なので、\( 0 \lt c \lt 1 \) であることがわかる。
また、\( e \lt 3 \) なので、最大の誤差は、\[\frac> \to \frac \to \frac < \frac\]となり、どんなに誤差が起こっても0.01未満で収まることが示せた。
マクローリン展開だけでなく、\( x = 0 \) 以外の展開（マクローリン展開以外の展開、）の、誤差の見積もりをすることができます。
テイラー展開の誤差の見積もり無限に微分できる関数 \( f(x) \) を \( n \) 回 \( x = a \) の近くでテイラー展開したときの元の関数との誤差（剰余項） \( R_ \) は、\[ R_ (x) = \frac \left(\theta (x-a) \right)> (x-a)^ \]
ただし、\( 0 \lt \theta \lt 1 \) である。
７．練習問題
練習1\( \sin 4x \) を \( x^3 \) の項までマクローリン展開しなさい。
練習2\( e^ \cos x \) を \( x^3 \) の項までマクローリン展開しなさい。
練習3\( \cos^2 x \) を \( x^4 \) の項までマクローリン展開しなさい。
練習4\( |x| \lt 1 \) のとき、\[ \frac \]のマクローリン展開を \( x^3 \) の項まで計算しなさい。
練習5\( x^3 \) の \( x = 1 \) におけるテイラー展開を求めなさい。
練習6(1) \( \sqrt \) を \( x^3 \) の項までマクローリン展開しなさい。(2) (1)の結果を用いて \( \sqrt \) の値を小数第3位まで（第4位以降四捨五入）求めなさい。
練習7つぎの2つの関数 \[ f(x) = \frac , \ \ g(x) = \cos x \] についてつぎの問いに答えなさい。ただし、\( |x| \lt 1 \) とする。
(1) 関数 \( f(x), g(x) \) の \( x^3 \) までの項のマクローリン展開を求めなさい。(2) (1)を用いて関数 \[ h(x) = \frac \] のマクローリン展開を \( x^3 \) の項まで求めなさい。
練習8関数 \( \sin x \) について、つぎの問いに答えなさい。
(1) \( \sin x \) を \( x^6 \) の項までマクローリン展開しなさい。(2) \( \sin 1 \) の値を(1)を用いて小数第3位まで表しなさい。(3) (2)の誤差が0.001未満であることを示しなさい。
練習9関数 \( f(x) = \tan x \) について、つぎの問いに答えなさい。
（\( \tan x \) のマクローリン展開は数検でよく出ます！）
(1) \( \tan x \) の導関数を求めなさい。(2) \( \tan x \) の第2次～第5次の導関数を求めなさい。(3) \( \tan x \) のマクローリン展開を \( x^5 \) の項まで求めなさい。(4) (3)を用いて \( \tan 0.5 \) の値を小数第2位まで答えなさい。(5) (3)を用いてつぎの極限を求めなさい。\[ \lim_ \frac\]
８．練習問題の答え
解答1ひたすら微分しましょう。\[\beginf(x) = \sin 4x \ \ \ f(0) = \sin 0 = 0 \\f'(x) = 4 \cos 4x \ \ \ f'(0) = \cos 0 = 4 \\f''(x) = - 16 \sin 4x \ \ \ f''(0) = - \sin 0 = 0 \\f'''(x) = - 64 \cos 4x \ \ \ f'''(0) = - \cos 0 = -64 \\\end\]となります。あとは公式に代入します。\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \frac x^3\\ & = 4x - \frac x^3\end \]となる。
☆別解☆
\[ \sin x \fallingdotseq x - \frac x^3\]なので、\( x \to 4x \) として、\[ \sin x \fallingdotseq 4x - \frac (4x)^3 = 4x - \frac x^3\]となる。
解答2ひたすら微分をしていく。\[f(x) = e^ \cos x \ \ \ f(0) = 1 \\\beginf'(x) & = 2 e^ \cos x - e^ \sin x \\ & = e^ (2 \cos x - \sin x)\end\ \ \ f'(0) = 2 \]\[\beginf''(x) & = 2 e^ (2 \cos x - \sin x) + e^ (- 2 \sin x - \cos x) \\ & = e^ (3 \cos x - 4 \sin x)\end\\ f''(0) = 3 \] \[\beginf'''(x) & = 2 e^ (3 \cos x - 4 \sin x) + e^ (- 3 \sin x - 4 \cos x) \\ & = e^ (2 \cos x - 11 \sin x)\end\\ f'''(0) = 2\]となります。あとは公式に代入します。\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \frac\\ & = 1 + 2x + \frac x^2 + \frac x^3\end \]となる。
☆別解☆
\( e^ \), \( \cos x \) のマクローリン展開を3次まで別々に計算する。\[ e^ \fallingdotseq 1 + 2x + 2x^2 + \frac x^3 \]\[ \cos x \fallingdotseq 1 - \frac x^2\]あとは2つを掛け合わせるだけ。\[ \begine^ \cos x & = \left( 1 + 2x + 2x^2 + \frac x^3 \right) \left( 1 - \frac x^2 \right)\\ & = 1 + 2x + \left(2 - \frac \right) x^2 + \left( \frac - 1 \right) x^3 \\ & =1 + 2x + \frac x^2 + \frac x^3\end\]と計算できます。
解答3あとはゴリ押し。\[\beginf(x) = \frac \ \ \ f(0) = 1 \\f'(x) = - \sin 2x \ \ \ f'(0) = 0 \\f''(x) = - 2 \cos 2x \ \ \ f''(0) = -2 \\f'''(x) = 4 \sin 2x \ \ \ f'''(0) = 0 \\f''''(x) = 8 \cos 2x \ \ \ f''''(0) = 8\end\]あとはいつものように公式。\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \frac x^3 + \frac x^4\\ & = 1 - x^2 + \frac x^4\end \]となる。
☆別解☆
\( \cos x \) の4回微分まで求める。
\[ \cos x \fallingdotseq 1 - \frac x^2 + \frac x^4\]なので、\( \cos 2x \) の4回微分は、\( x \to 2x \) にして、\[ \cos 2x \fallingdotseq 1 - \frac (2x)^2 + \frac (2x)^4 = 1 - 2x^2 + \frac x^4\]となる。
あとは\[ \cos^2 x = \frac \]に \( \cos 2x \) のマクローリン展開の結果を突っ込む。\[\begin \cos^2 x & \fallingdotseq \frac + \frac \left( 1 - 2x^2 + \frac x^4 \right) \\ & = 1 - x^2 + \frac x^4\end \]となる。
解答4 解答5\[\beginf(x) = x^3 \ \ \ f(1) = 1 \\f'(x) = 3x^2 \ \ \ f'(1) = 3 \\f''(x) = 6x \ \ \ f''(1) = 6 \\f'''(x) = 6 \ \ \ f'''(1) = 6 \\\end\]となる。4回微分以降は0になるまで、3次までの \( x = 1 \) におけるテイラー展開を考えればよい。よって、\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(1) + \frac (x-1) + \frac (x-1)^2 + \frac (x-1)^3\\ & = 1 + 3 (x-1) + 3 (x-1)^2 + (x-1)^3\end \]と計算できる。
解答6\( x = 0.01 = 1/100 \) を代入する。計算をしていくと、\( x^2 \) の項以降は非常に小さいので無視することができることがわかります。
\[ \begin &1 + \frac x - \frac x^2\\ = & 1 + \frac \cdot \frac - \frac \cdot \frac \\ = & 1 + \frac \\ \fallingdotseq & 1 + 0.005 = 1.005\end \]
解答7(1) \[ \frac \fallingdotseq 1 + x + x^2 + x^3 \\ \cos x \fallingdotseq 1 - \frac x^2 \]となる。
(2) (1)より、\[\begin \frac = \frac \cdot \cos x & =\left(1 + x + x^2 + x^3 \right) \left(1 - \frac x^2 \right) \\ & =1 + x + \left(1 - \frac \right) x^2 + \left(1 - \frac \right) x^3 \\ & = 1 + x + \frac x^2 + \frac x^3\end \]となる。
解答8\[ \sin x \fallingdotseq x - \frac x^3 + \frac x^5 \]
\( x = 1 \) を代入すると、\[ 1 - \frac + \frac = \frac \fallingdotseq 0.842 \]となる。
6次の項までの求めたので誤差は7次の項以降になる。よって \( R_7 (1) \) をもとめればよい。\[ R_ (1) = \frac (c)> = \frac\]となる。ここで、\( x = 1 \) なので、\( 0 \lt c \lt 1 \) であることがわかる。
また、\( |- \cos x| \leqq 1 \) なので、最大の誤差は、\[\frac \to \frac \lt \frac\]となり、どんなに誤差が起こっても0.001未満で収まることが示せた。
解答9公式を忘れてしまった人は、\[ \tan x = \frac< \cos x>\] と分数の微分公式から導出しましょう。導関数は\[ f'(x)= \frac \] となります。
なので、導関数の形を変えて挙げましょう。\[ f'(x)= \frac = 1 + \tan^2 x\] と変形ができます。
さらに合成関数の微分公式を使います。\( t = \tan x \) とすると、関数は \( f(t) = 1 + t^2 \) と変えることができます。
2次の導関数は、\[ \frac = 2t = 2 \tan x , \ \ \ \frac = \frac = 1 + \tan^2 x \]なので、\[\begin \frac & = \frac \cdot \frac \\ & = 2 \tan x (1 + \tan^2 x) \\ & = 2 \tan x + 2 \tan^3 x\end \]と求められます。
同様に \( t = \tan x \) として3次〜5次まで求めると、
\( f(t) = 2t^3 + 2t \) となる。
\[ \frac = 6t^2 + 2 = 6 \tan^2 x + 2, \ \ \ \frac = \frac = 1 + \tan^2 x \]なので、\[\begin \frac & = \frac \cdot \frac \\ & = (6 \tan^2 x + 2)(1 + \tan^2 x) \\ & = 2 + (2 + 6) \tan^2 x+ 6 \tan^4 x \\ & = 2 + 8 \tan^2 x + 6 \tan^4 x\end \]
\( f(t) = 6t^4 + 8t^2 + 2 \) となる。
\[ \frac = 24t^3 + 16t = 24 \tan^3 x + 16 \tan x, \ \ \ \frac = \frac = 1 + \tan^2 x \]なので、\[\begin \frac & = \frac \cdot \frac \\ & = (24 \tan^3 x + 16 \tan x)(1 + \tan^2 x) \\ & = 16 \tan x + (16 + 24) \tan^3 x+ 24 \tan^5 x \\ & = 16 + 40 \tan^3 x + 24 \tan^5 x\end \]
\( f(t) = 24t^5 + 40t^3 + 16t \) となる。
\[ \frac = 120t^4 + 120 t^2 + 16 = 120 \tan^4 x + 120 \tan^2 x + 16 , \ \ \ \frac = \frac = 1 + \tan^2 x \]なので、\[\begin \frac & = \frac \cdot \frac \\ & = (120 \tan^4 x + 120 \tan^2 x + 16)(1 + \tan^2 x) \\ & = 16 + (120+16)\tan^2 x + (120 + 120) \tan^4 x + 120 \tan^6 x \\ & = 16 + 136 \tan^2 x + 240 \tan^4 x + 120 \tan^6 x\end \]
(2)で求めた導関数に \( x = 0 \) を代入します。\[ f(0) = 0 \\ f'(0) = 1 \\ f''(0) = 0 \\ f'''(0) = 2 \\ f''''(0) = 0 \\ f'''''(0) = 16 \]となるので、マクローリン展開は、\[ \beginf(x) & \fallingdotseq f(0) + \frac x + \frac x^2 + \frac x^3 + \frac x^4 + \frac x^5\\ & = x + \frac x^3 + \frac x^5\end \]と求めることができます。
(3)の答えに \( x = 0.5 = 1/2 \) を代入する。\[ \frac + \frac \cdot \frac + \frac \cdot \frac = 0.5 + \frac \fallingdotseq 0.55 \]と求めることができます。
分母が \( x^3 \) なので、\( \tan x \), \( \sin x \) ともに \( x^3 \) までのマクローリン展開を使えばよい。\[ \tan x = x + \frac x^3, \ \ \sin x = x - \frac x^3 \]として、\[ \lim_ \frac = \lim_ \frac = \frac \]と求めることができる。
９．さいごに
公開日： 2019年7月9日 更新日： 2021年7月16日 この記事を書いた人 コメント一覧 とくめい 2020-03-14 00:35:50 返信 練習問題の解答6のマクローリン展開2!や3!で割ってなくないですか momoyama1192 2020-03-14 11:31:02 返信 すいません。修正しました。 およよ 2020-08-26 15:07:55 返信 ありがとうございます。 物凄くいいサイトですね。勉強させてもらっています。ところで練習6で √1.01ですが最後に0.01でなくて0.05になってしまっています。 momoyama1192 2020-08-27 02:27:21 返信 およよさんコメントありがとうございます。0.01に修正しました。私自身がもう少しミスを確認すべきですね……。申し訳ありません。 関連記事 うさぎでもわかる線形代数 第05羽 行列式 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第18羽 平面グラフ・平面的グラフ うさぎでもわかる解析 Part02 逆三角関数 うさぎでもわかる計算機システム Part06 プロセッサの基礎 【基本情報対策】うさぎでもわかるデータベース 第03羽 SQL前編（select文の使い方とその応用） うさぎでもわかる微分方程式 Part14 ラプラス変換のいろは うさぎでもわかる微分方程式 Part10 連立微分方程式（2階微分方程式に帰着させて解くパターン） 線形代数：マーク式試験の裏技第1弾 うさぎドリル プログラミング（C言語）スキルチェック うさぎでもわかる計算機システム Part06 プロセッサの基礎カテゴリー
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