うさぎでもわかる微分方程式 Part10 連立微分方程式（2階微分方程式に帰着させて解くパターン）
ここで、\( x \) の両辺を \( t \) で微分すると\[\frac = 3 C_1 e^ - C_2 e^\]となるので、\[\beginy & = \frac \frac - \frac x\\ & = \frac \left( 3 C_1 e^ - C_2 e^ \right) - \frac \left( C_1 e^ + C_2 e^ \right)\\ & = C_1 e^ - C_2 e^\end\]となります。
よって、\( x \), \( y \) の一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\left\< \begin x = C_1 e^ + C_2 e^ \\ y = C_1 e^ - C_2 e^ \end\right.\]と表せます。
公式化2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = ax + by \\ \frac = cx + dy \end\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。
上のように、\( a + d \) は行列の対角成分の和、\( ad - bc \) は行列式（サラスの公式）と考えると頭にいれやすいかと思います。
ケーリーハミルトンの定理に似たような形 ですよね。
同次形の連立微分方程式 → 高階微分方程式未知変数が \( x \), \( y \) の2元連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = ax + by \\ \frac = cx + dy \end\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac - (a+d) \frac + (ad-bc) x = 0\]に変形できる。
- 特性方程式を解き、\( x \) の一般解を求める
- 求めた \( x \) を微分し、\( \frac\) を求める
- \( x \), \( \frac\) を\[y = \frac\left( \frac- a x \right)\]に代入する。
ことで \( x \), \( y \) の一般解を求めることができる。
（なお、この場合は、求めた \( y \) の一般解と \( \frac \) を\[x = \frac \left( \frac - dy \right)\]に代入することで \( x \) の一般解を求められます。）
なお、練習3では \( y \) に関する2階微分方程式として解いているので、\( y \) から変形したい人はぜひご覧ください。
(2) 非同次の連立微分方程式も解いてみよう非同次の2元連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = ax + by + f(t) \\ \frac = cx + dy + g(t) \end\right.\]も変形を行うことで、非同次の2階微分方程式に変形をすることができます。
（\( x \), \( y \) に関係ない項（\( f(t) \), \( g(t) \)）があるので非同次の連立微分方程式です。）
例題2連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = x + 2y + e^ \\ \frac = 2x + y + 2e^ \end\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。
解説2例題1の連立微分方程式に \( e^t \) という関係ない項を入れただけの問題です。
ですが、\( x \), \( y \) に関係ない項があっても基本的にはやり方は同じです。
特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、\( k = 3 \), \( k = -1 \) となるので、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[x = C_1 e^ + C_2 e^\]と求められます。
特殊解が \( e^ \) の形と予想できるので未定係数法で解いちゃいましょう。
ここで、\( x \) の両辺を \( t \) で微分すると\[\frac = 3 C_1 e^ - C_2 e^ - \frac e^\]となるので、\[\beginy & = \frac \frac - \frac x - \frac e^\\ & = \frac \left( 3 C_1 e^ - C_2 e^ - \frac e^ \right) - \frac \left( C_1 e^ + C_2 e^ - \frac e^ \right) - \frac e^\\ & = C_1 e^ - C_2 e^ - \frac e^\end\]となります。
よって、\( x \), \( y \) の一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\left\< \begin \frac = C_1 e^ + C_2 e^ - \frac e^ \\ \frac = C_1 e^ - C_2 e^ - \frace^ \end\right.\]と表せます。
公式化2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = ax + by + f(t) \\ \frac = cx + dy + g(t) \end\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。
公式とはいっても、同次2階微分方程式の公式の 右辺側の 0 が \( f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t) \) に変わるだけ です。
非同次形の連立微分方程式 → 高階微分方程式未知変数が \( x \), \( y \) の非同次2元連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = ax + by + f(t) \\ \frac = cx + dy +g(t) \end\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac - (a+d) \frac + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]に変形できる。
- 特性方程式を解き、\( x \) の一般解を求める
- 求めた \( x \) を微分し、\( \frac\) を求める
- \( x \), \( \frac\) を\[y = \frac\left( \frac- ax - f(t) \right)\]に代入する
ことで \( x \), \( y \) の一般解を求めることができる。
（この場合は、求めた \( y \) の一般解と \( \frac \) を\[x = \frac \left( \frac - dy - g(t) \right)\]に代入することで \( x \) の一般解を求められます。）
同次の場合は、\( x \) から変形しても \( y \) から変形しても公式自体は大きく変わらないのですが、 非同次になると右辺部分がかなり変化する ので気を付けましょう。
３．練習問題
練習1 練習2 練習3４．練習問題の答え
解答1ここで、特性方程式\[k^2 -9k +20 = (k-4)(k-5) = 0\]より、\( k = 4 \), \( k = 5 \) となるので、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[x = C_1 e^ + C_2 e^\]と求められる。
ここで、\( x \) の両辺を \( t \) で微分すると\[\frac = 4 C_1 e^ + 5 C_2 e^\]となるので、\[\beginy & = \frac \frac - 4 x\\ & = \frac \left( 4 C_1 e^ + 5 C_2 e^ \right) - 4 \left( C_1 e^ + C_2 e^ \right)\\ & = - 2 C_1 e^ - \frac C_2 e^\end\]となる。
よって、\( x \), \( y \) の一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\left\< \begin x = C_1 e^ + C_2 e^ \\ y = -2 C_1 e^ - \frac C_2 e^ \end\right.\]と表せ、これが答えとなる。
解答2ここで、特性方程式\[k^2 -6k + 9 = (k-3)^2 = 0\]より、\( k = 3 \) の2重解となるので、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[x = C_1 e^ + C_2 t e^\]と求められる。
ここで、\( x \) の両辺を \( t \) で微分すると\[\frac = 3 C_1 e^ + C_2 e^ + 3 C_2 te^\]となるので、\[\beginy & = - \frac \frac + \frac x\\ & = - \frac \left( 3 C_1 e^ + C_2 e^ + 3 C_2 te^ \right) + \frac \left( C_1 e^ + C_2 t e^ \right)\\ & = C_1 e^ - \frac C_2 e^ + C_2 t e^\end\]となる。
よって、\( x \), \( y \) の一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\left\< \begin x = C_1 e^ + C_2 t e^ \\ y = C_1 e^ - \frac C_2 e^ + C_2 t e^ \end\right.\]と表せ、これが答えとなる。
解答3さらにこの式の両辺を \( t \) で微分すると、\[\frac = \frac \frac + \frac \frac - 1 \tag\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[\frac \frac + \frac \frac - 1 = -4x + 3 \left( \frac \frac + \frac x - t - \frac \right) + 5t \]\[\frac \frac - \frac x = 2t + \frac\frac - x = 4t - 1\]となり、2階の非同次微分方程式\[\frac - x = 4t - 1\]が導出できる。
一般解を出すためにまずは同次方程式\[\frac - x = 0\]の一般解を求める。
ここで、特性方程式\[k^2 - 1 = 0\]より、\( k = 1 \), \( k = -1 \) となるので、一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[x = C_1 e^ + C_2 e^\]と求められる。
右辺が \( 4t - 1 \) なので、特殊解を\[x = at + b\]とおくと、\[\frac = a, \ \ \ \frac = 0\]なので、\[\begin& \frac - x\\ = \ & - (at + b)\\ = \ & -at - b\\ = \ & 4t - 1\end\]となるので、\[\left\ -a = 4 \\[4px] -b = -1 \end\right.\qquad \therefore \quad \left\ \displaystyle a = -4 \\ \displaystyle b = 1 \end\right.\]となり、特殊解の1つが\[y = -4t + 1\]となるので、\( x \) に関する一般解が\[x = C_1 e^ + C_2 e^ - 4t + 1\]と求まります。
ここで、\( x \) の両辺を \( t \) で微分すると\[\frac = C_1 e^ - C_2 e^ -4\]となるので、\[\beginy & = \frac \frac + \frac x - t - \frac\\ & = \frac \left( C_1 e^ - C_2 e^ -4 \right) + \frac \left( C_1 e^ + C_2 e^ - 4t + 1 \right) - t - \frac\\ & = 2 C_1 e^ + C_2 e^ - 7t - 1\end\]となる。
よって、\( x \), \( y \) の一般解は任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[\left\< \begin x = C_1 e^ - C_2 e^ -4 \\ y = 2 C_1 e^ + C_2 e^ - 7t - 1 \end\right.\]と表せ、これが答えとなる。
５．さいごに
公開日： 2020年4月22日 更新日： 2023年4月19日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 【標本分散はなぜ n ではなくn-1 で割るの？】うさぎでもわかる確率・統計 不偏推定量 うさぎでもわかる線形代数 第17羽 直交行列を用いた対角化 Unixのファイルシステム・ブロック数の求め方について うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part06 オブジェクト指向とPython 1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 3日目 確率密度関数 【データの分析】1時間で総復習！ 共通テストで重要な5つのポイント うさぎでもわかるデータベースの正規化・正規系判定（基本情報・応用情報） うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第18羽 平面グラフ・平面的グラフ うさぎでもわかる微分方程式 Part09 定数変化法を用いた2階非同次線形微分方程式の一般解の求め方 うさぎでもわかる微分方程式 Part11 対角化を用いた連立微分方程式の解き方と指数行列カテゴリー
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