うさぎでもわかる解析 Part11 広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理
今回の場合、\( x = 0 \) が定義されていないので、\( x = -1 \) から、\( x = 0 \) よりほんの少しだけ小さい値と \( x = 0 \) よりほんの少し大きい値から \( x = 1 \) までの2つにわけて計算します。そのため、\[\begin \int^_ \frac \ \ dx & =\lim_ \int^_ \frac \ dx + \lim_ \int^_ \frac \ dx\end \]の2つに分解されます。
\[\begin \int^_ \frac \ \ dx & = \left[ - \frac \right]^_\\ & = -1 + \frac\end \] \[ \lim_ \frac = \infty \] となり、\[ \int^_ \frac \ \ dx = \infty \]となり、2つの広義積分はともに無限大に発散するので、\[ \int^_ \frac \ \ dx = \infty \]となり、無限大に発散することがわかる。
パターン3 積分範囲に無限大が含まれている場合 例題3 解説3範囲に無限大があるので一旦 \( R \) と置く。
２．注意！ 偶関数・奇関数の広義積分
※偶関数とは \( f(t) = f(-t) \) が成立する関数、奇関数は \( f(t) = - f(-t) \) が成立する関数のことです。
収束の可能性を判定 してからでないと公式は適用できません。
奇関数の場合（要注意！！） 例題4次の広義積分を求めなさい。\[ \int^_ x \cos x \ dx \]
解説4×だめな答案例（要注意!!）
あ、ラッキー！！ 積分関数は奇関数じゃん！！\[ \int^_ x \cos x \ dx = 0\] 典型的な間違い の例です。
○正解
連鎖公式（ブンブン・瞬間部分積分）が使えます。\[\begin & \int^_ x \cos x \ dx \\ = & \left[ x (\sin x) - 1 (- \cos x) \right]^_\\ = & R \sin R + \cos R - 1\end \]と計算ができる。ここで極限をとる。\[ \lim_ R \sin R + \cos R - 1 \]の計算は発散してしまい、計算することができない。
同様に\[\begin & \int^_ x \cos x \ dx \\ = & \left[ x (\sin x) - 1 (- \cos x) \right]^_\\ = & - R \sin R - \cos R + 1\end \]と計算できる。同様に極限を取ると発散をする。
偶関数の場合 例題5 解説5偶関数であることを使わずに地道に解いた場合
偶関数であることを使った場合
偶関数・奇関数の広義積分積分（偶関数はどっちにしろ積分をしないと答えが出せないので間違える人は少ないが、奇関数は積分せずに答えを出せてしまう関係上、 収束するか確認せずに0と答えてしまう人が多いので注意！ ）
３．優関数の原理
実際に広義積分が収束するのかを計算するのが難しい関数でも、 より大きくて計算しやすい関数が同じ積分範囲内で収束することを示せば 、計算するのが難しい関数でも収束することを示すことができます。
これを優関数の原理といいます。なお、この原理では、 収束することは示せても、どの値に収束するのかはわかりません 。
例題6広義積分\[ \int^_ e^ \sin^3 x \ dx \]が収束することを示しなさい。
解答6\( | \sin x | \leqq 1 \) を満たすので、\( | \sin^3 x | \leqq 1 \) も当然満たす。
なので、積分範囲内では常に \[ \left| e^ \sin^3 x \right| \leqq e^ \]となる。
なので、\[ \int^_ e^ \ dx \]が収束することを示せばよい。
よって、\[ \int^_ e^ \sin^3 x \ dx \]も収束することが示された。
４．練習問題
練習1(4) \[ \int^_ \log x \ dx \]
練習2\[ \int^_ e^ \ dx \]が収束することを示しなさい。（この数式はガウス積分と呼ばれます。）
練習3５．練習問題の答え
解答1被積分関数は \( x = 1 \) のとき定義されていない。
被積分関数は積分開始地点である \( x = -1/2 \) のとき定義されていない。
なので、\( -1/2 \) より少し大きい値から積分をしてあげればよい。
被積分関数は \( x = 0 \) のとき定義されていない。
なので、0に少しだけ大きい値まで積分して最後に極限をとればよい。\[\begin \int^_ \log x \ dx = & \left[ x \log x - x \right]^_\\ = & 3 \log 3 - 3 - \left( t \log t - t \right)\end \]となる。ここで、\[\begin \lim_ t \log t - t & = \lim_ t ( \log t - 1 ) \\ & = \lim_ \frac> \\ & =\lim_ \frac< \frac >\\ & = \lim_ -t = 0\end \]より、\[ \begin \int^_ \log x \ dx = 3 \log 3 - 3\end \]となる。
解答2(2) \[ \int^_ e^ \ dx \]の広義積分を直接計算して収束することは難しいので、優関数の原理を用いる。
\( x \leqq 1 \) において、\( |e^| \leqq xe^ \) が成立する。…(i)
よって、(i), (ii) より、題意の積分は収束することが示された。
解答3\( | \cos x | \leqq 1 \) である。よって、
つぎに、\[ \int^_ \frac \ dx \]が収束することを確かめる。（優関数の原理）。
前半の積分は \( x = 1 \) で定義されないので、1よりもわずかに少ない値で積分。\[ \begin\int^_ \frac \ dx & = \left[ \frac \log \left| x^2 - 1 \right| \right] \\ & = \frac \log \left| (1-t)^2 - 1 \right| \\ & = \frac \log \left| t^2 -2t \right|\end \]となる。
６．さいごに
広義積分は、今後習う二重積分などで突然不意打ちをしてくるので、これ広義積分だなっていうのを見分けられるようにして、不意打ちを回避できるようにしましょう。
公開日： 2019年7月25日 更新日： 2019年7月25日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 【基本情報対策】うさぎでもわかるデータベース 第04羽 SQL中編 うさぎでもわかる線形代数 補充4 クラメルの公式 うさぎでもわかる線形代数 補充2 平面・空間上における直線の方程式（ベクトル方程式の基礎） うさぎでもわかるアルゴリズム 動的計画法 うさぎでもわかる論理回路 カルノー図編 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第14羽 ダイクストラ法による最短経路の求め方 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第11羽 木・根付き木 4時間で復習！ 1年後期解析学総まとめ 後編 【C言語】プログラミングスキルチェック（応用編） ページング（ページフォルト・LRUアルゴリズム）について（基本情報・応用情報）カテゴリー
各種便利ツール・問い合わせ- 【完全無料】離散数学演習ツール・計算機まとめ
- 【ハッセ図】上界/下界・最大元/最小元・極大元/極小元・上限(最小上界)/下限(最大下界) 判定ツール
- 【ハッセ図】述語論理（∀・∃）真偽判定ツール
- 【離散数学】べき集合 2^A・P(A) 自動計算＆全列挙ツール
- 【離散数学】真理値表 自動作成ツール（途中式あり）
- 【離散数学】集合の「∈・⊆」真偽チェッカー（答え合わせ用）
- 【離散数学テスト対策】真理値表の穴埋めガチ演習ツール
- 【離散数学テスト対策】集合の「∈・⊆」ガチ演習！ 弱点分析つき○×ドリル
目次
工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)