. Part28 3重積分 - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
Part28 3重積分 - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
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うさぎでもわかる解析 Part28 3重積分

このような2重積分を解く際には、積分領域 \( D \) を\[D = \< (x,y) \mid a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d \ \>\]と \( x \) 軸による積分、\( y \) 軸による積分の2つに分解し、\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y) \ dx \right) \ dy\]もしくは\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^b_a \left( \int^d_c f(x,y) \ dy \right) \ dx\]と定積分を2回する形に持ち込むのでした。

（この積分区間の変数 \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) に 定数以外、自分自身以外の積分変数を入れてもOK ）

２．3重積分と2重積分の2つの相違点

(1) 被積分関数が3変数関数に

3重積分では被積分関数が \( f(x,y,z) \) のような 3変数関数 となります。

（2重積分では \( f(x,y) \) の2変数関数でしたね）

(2) 積分領域が3次元に

3重積分では、積分領域 \( V \) が3次元（ \( xyz \) 空間）となります。

※教科書によっては3次元の領域も \( D \) と表しているものが多いですが、2次元の領域と区別をするため、本記事では3次元の領域を \( V \) で表すことにします。

（なお、2重積分では積分領域が2次元（ \(xy \) 平面）でしたね。）

３．3重積分の計算法

(1) 3重積分の基本計算 3重積分の基本計算 領域 \( V \) が\[V = \< (x,y,z) \ \mid a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d , \ e \leqq z \leqq f \>\]と表されるとする。このとき、以下の(i), (ii)のどちらかの方法で計算を行うことができる。

\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^f_e \left( \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y,z) \ dx \right) \ dy \right) \ dz\]

※1 積分範囲に まだ積分しようとしていない 積分変数 \( x \), \( y \), \( z \) を含めることができる※2 積分順序は任意だが、積分範囲に積分変数が出てくる場合は例外

(ii) [被積分関数を \( x \), \( y\), \( z \) だけの関数に分解]

\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^b_a p(x) \ dx \times \int^d_c q(y) \ dy \times \int^f_e r(z) \ dz\]

  • 積分範囲（\( a \) ～ \( f \) の変数）がすべて定数
  • 被積分関数を \( p(x) \), \( q(y) \), \( r(z) \) の形に分解できるとき
[補足] (i)の方法

2重積分にあった\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y) \ dx \right) \ dy\]の形を3重積分に拡張して\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^f_e \left( \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y,z) \ dx \right) \ dy \right) \ dz\]と思っていただけたらOKです。

もちろん2重積分と同じように、 まだ積分していない or 積分しようとしていない積分変数 を入れることもできます*1。\[\int^1_0 \left( \int^z_0 \left( \int^y_0 f(x,y,z) \ dx \right) \ dy \right) \ dz\]

また、積分順序は自由です。つまり、\( x \), \( y \), \( z \) どれから積分してもOKです。

例えば、\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^f_e \left( \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y,z) \ dx \right) \ dy \right) \ dz \]の3重積分を\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^b_a \left( \int^d_c \left( \int^f_e f(x,y,z) \ dz \right) \ dy \right) \ dx\]と入れ替えて計算することができます。

ただし、\[\int^1_0 \left( \int^x_0 \left( \int^1_0 f(x,y,z) \ dx \right) \ dy \right) \ dz\]のように すでに積分した変数 or これから積分しようとする変数を入れることはできません *2。

[補足] (ii)の方法
  • \( x \) だけの関数 \( p(x) \)
  • \( y \) だけの関数 \( q(x) \)
  • \( z \) だけの関数 \( r(x) \)

の3つの積で表され、なおかつ積分範囲が全部定数のときは、以下のように3つの定積分の式を計算することで答えを求めることができます。\[\iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \int^b_a p(x) \ dx \times \int^d_c q(y) \ dy \times \int^f_e r(z) \ dz\]

解説1

積分範囲がすべて定数で表されているので、(ii)の方法で解いてみましょう。\[\begin\iiint_V x^3 y^2 z \ dxdydz & = \int^_ x^3 \ dx \cdot \int^_ y^2 \ dy \cdot \int^_ z \ dz\\ & = \left[ \frac x^4 \right]^_ \cdot \left[ \frac y^3 \right]^_ \cdot \left[ \frac z^2 \right]^_\\ & = \frac \cdot \frac \left( 8 - 1 \right) \cdot \frac \left( 9 - 4 \right)\\ & = \frac \cdot \frac \cdot \frac\\ & = \frac\end\]

  • \( z\) に \( y \) の積分範囲が存在する→ \( y \) を積分する前に \( z \) を積分する必要あり
  • \( y \) に \( x \) の積分範囲が存在する→ \( x \) を積分する前に \( y \) を積分する必要あり

そのため、\( z \), \( y \), \( x \) の順に積分する必要がある。

\[\begin& \iiint_V x^3 y^2 z \ dxdydz\\ = \ & \int^1_0 \left( \int^x_0 \left( \int^y_0 x^3 y^2 z \ dz \right) \ dy \right) \ dx\\ = \ & \int^1_0 \left( \int^x_0 x^3 y^2 \left[ \frac z^2 \right]^_ \ dy \right) \ dx\\ = \ & \frac \int^1_0 \left( \int^x_0 x^3 y^4 \ dy \right) \ dx\\ = \ & \frac \int^1_0 x^3 \left[ \frac y^5 \right]^_ \ dx\\ = \ & \frac \int^1_0 x^8 \ dx\\ = \ & \frac \left[ \frac x^ \right]^_\\ = \ & \frac\end\]

(2) 積分範囲が複雑な場合

このような問題の場合、\[\iint_D \left( \int^_ f(x,y,z) \ dz \right) \ dxdy\]のように、

  • どれか1変数を積分できるような形に変形（\( z \) を積分するのであれば \( p(x,y) \leqq z \leqq q(x,y) \) の形*3
  • 残りの2変数を積分領域 \( D \) で表現（最初に \( z \) を積分したら、領域 \( D \) は \( xy \) 平面上になる

積分範囲を 1変数＋2重積分 の形に変形する際に

  • 積分範囲を解析的(?)に変形する方法
  • 積分範囲（立体）を図示する方法

解説2

\( x + y + z \leqq 1 \) を \( z \) 中心の形にすると、\( z \leqq 1 - x - y \) となります。

さらに \( V \) の範囲より、\( 0 \leqq z \) なので、\( z \) の積分範囲は\[0 \leqq z \leqq 1-x-y\]となります。

\( z \) がどんなに小さな値だったとしても \( z = 0 \) なので必ず \( x + y \leqq 1 \) となりますね。

また、\( 0 \leqq x \), \( 0 \leqq y \) なので \( 0 \leqq x + y \) ですね。なので、\[0 \leqq x+y \leqq 1\]が成り立ち、残りの2重積分の積分範囲 \( D \) は\[D = \< (x,y) \ \mid 0 \leqq x , \ 0 \leqq y , \ x+y \leqq 1 \>\]となります。

なお、図形的に考える場合は、 残りの2重積分の範囲 \( D \) は、領域 \( V \) を真上方向から見たものと同じ と思うとわかりやすいかもしれません。

よって、\[\begin\iiint_V 1 \ dxdydz & = \iint_D \left( \int^_ 1 \ dz \right) \ dxdy\\ & = \iint_D 1-x-y \ dxdy\\ & = \int^_ \left( \int^_ 1-x-y \ dy \right) dx\\ & = \int^_ \left[ y - xy - \frac y^2 \right]^_ \ dx\\ & = \int^_ 1-x - x(1-x) - \frac (1-x)^2 \ dx\\ & = \int^_ \frac x^2 - x + \frac \ dx\\ & = \left[ \frac x^3 - \frac x^2 + \frac x \right]^_\\ & = \frac - \frac + \frac\\ & = \frac\end\]と計算できる。

４．3重積分と変数変換（ヤコビアン）

(1) ヤコビアンの公式

つまり、変数変換における \( dxdydz \) と \( dpdqdr \) の関係は\[dxdydz = |J| dpdqdr\]となる。

（ 体積の変化率なので絶対値がつく ことに要注意！）

例えば、\[\left\ x = 2p - 3q - r \\ y = -p + 3r \\ z = p + 2q + 2r \end\right.\]とおきかえることを考えてみましょう。

(2) よく出る変数変換1 球面座標への変換

球面座標への変換とは、\[\left\ x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end\right.\]のような変換を表します。

（※ただし \( 0 \leqq r \), \( 0 \leqq \theta \leqq \pi \), \( 0 \leqq \phi \leqq 2 \pi \) です。\( \phi \) は1周分の積分だが、\( \theta \) は1周分ではない点に注意。）

このときのヤコビアン \( J \) は\[\beginJ & = \left| \begin \frac & \frac & \frac \\ \frac & \frac & \frac \\ \frac & \frac & \frac \end \right|\\ & = \left| \begin \sin \theta \cos \phi & r \cos \theta \cos \phi & - r \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r \cos \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & - r \sin \theta & 0 \end \right|\\ & = r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \sin^3 \theta \cos^2 \phi\\ & = r^2 \sin \theta \left( \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^2 \theta \cos^2 \phi \right)\\ & = r^2 \sin \theta \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi \right)\\ & = r^2 \sin \theta\end\]と計算できるので、ヤコビアンは \( r^2 \sin \theta \) となり、\[dxdydz = r^2 \sin \theta \ dr d \theta d \phi\]の関係式が成り立ちます。

1回自分で導出してみるとわかるのですが、かなり計算がえげつないのでヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) は覚えておくことをつよくおすすめします。

球面座標への変数変換 球面座標\[\left\ x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end\right.\]と置き換える。このときのヤコビアン \( J \) は\[J = r^2 \sin \theta\]となるため、\[\begindxdydz & = |J| dr d \theta d \phi\\ & = r^2 \sin \theta \ dr d \theta d \phi\end\]となる。

球面座標への変数変換は、積分領域に \( x^2 + y^2 + z^2 \leqq a^2 \) のように \( x^2 + y^2 + z^2 \) が含まれる形のときに使われることが多いです。

積分範囲に \( x^2 + y^2 + z^2 \) が含まれている場合、球面変換をすることを疑ってください*4。

解説3

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[\left\ x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end\right.\]の変数変換をしましょう。

ここで、\( z \geqq 0 \)、つまり \( r \cos \theta \geqq 0 \) なので、\( \cos \theta \geqq 0 \) という制限が入りますね*5。

あとは、積分領域が \( r \), \( \theta \), \( \phi \) ともに定数範囲になったので3つの定積分に分解して解くだけでOK。

ヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) の存在もお忘れなく。

すると、\[\begin\iiint_V 1 \ dxdydz & = \iiint_ r^2 \sin \theta \ drd \theta d \phi\\ & = \int^_ r^2 \ dr \cdot \int^_ \sin \theta \ d \theta \cdot \int^_ 1 \ phi\\ & = \left[ \frac r^3 \right]^_ \cdot \left[ - \cos \theta \right]^_ \cdot \left[ \phi \right]^_\\ & = \frac \cdot 1 \cdot 2 \pi\\ & = \frac \pi\end\]と答えが求まります。

(3) よく出る変数変換2 円柱座標への変換

円柱座標への変換とは、\[\left\ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end\right.\]のような変換を表します。

（※ただし \( 0 \leqq r \), \( 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi \)。\( \theta \) は1周分。）

\( xy \) 平面は極座標変換、\( z \) 軸に関しては一切変換をしません。

そのため、 高さを変えない極座標変換 だと思っていただけたらOKです。

このときのヤコビアン \( J \) は\[\beginJ & = \left| \begin \frac & \frac & \frac \\ \frac & \frac & \frac \\ \frac & \frac & \frac \end \right|\\ & = \left| \begin \cos \theta & - r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end \right|\\ & = \left| \begin \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end \right|\\ & = r \cos^2 \theta +r \sin^2 \theta\\ & = r \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right)\\ & = r\end\]と計算できるので、ヤコビアンは \( r \) となり、\[dxdydz =r \ dr d \theta d z\]の関係式が成り立ちます。

円柱座標への変数変換 円柱座標\[\left\ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end\right.\]と置き換える。このときのヤコビアン \( J \) は\[J = r\]となるため、\[\begindxdydz & = |J| \ dr d \theta d \phi\\ & = r \ dr d \theta d \phi\end\]となる。

  • 積分範囲に \( x^2 + y^2 \) が含まれている
  • \( x^2 + y^2 + z^2 \) が式や積分範囲にあり、球面変換をしてもうまくいかない

解説4

積分範囲に \( x^2 + y^2 \) が含まれているので、円柱変換\[\left\ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end\right.\]をしましょう。

ここで、\( x^2 + y^2 \leqq 2 \) なので、\( 0 \leqq r \leqq \sqrt \) となりますね。

また、\( 0 \leqq z \leqq \sqrt \) なので、\( 0 \leqq z \leqq r \) も成り立ちますね。

よって、領域変換後の積分領域 \( V' \) は\[V' = \left\ < (r,\theta,\phi) \ \middle| 0 \leqq r \leqq \sqrt, \ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi , \ 0 \leqq z \leqq r \right\>\]となります。

すると、\[\begin\iiint_V (x^2+y^2) z^3 \ dxdydz & = \iiint_ r^2 z^3 \cdot r \ drd \theta dz\\ & = \int^_ \left( \int^>_ r^3 \left( \int^_ z^3 \ dz \right) \ d r \right) \ d \theta\\ & = \int^_ \left( \int^>_ r^3 \left[ \frac z^4 \right]^_ \ dr \right) \ d \theta\\ & = \frac \int^_ \left( \int^>_ r^7 \ dr \right) \ d \theta\\ & = \frac \int^_ \left[ \frac r^8 \right]^ < \sqrt> \ d \theta\\ & = \frac \int^_ 16 \ d \theta\\ & = \frac \cdot 32 \pi\\ & = \pi\end\]と答えが求まります。

５．練習問題

練習1 練習2 練習3 練習4 [難問]

６．練習問題の答え

解答1

(1) \( x \), \( y \), \( z \) の順で積分する方法 [おすすめ]

まず、\( 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 1 \) より \( 0 \leqq x \leqq y \) となることがわかる。

よって、\[\begin\iiint_V z \ dxdydz & = \iint_D \left( \int^_ z \ dx \right) \ dydz\\ & = \iint_D z \left[ x \right]^_ \ dydz\\ & = \iint_D yz \ dydz\\ & = \int^_ \left( \int^_ yz \ dy \right) dz\\ & = \int^_ z \left[ \frac y^2 \ dy \right]^_ \ dz\\ & = \frac \int^_ z^3 \ dz\\ & = \frac \left[ \frac z^4 \right]^_\\ & = \frac\end\]と計算できます。

(2) \( z \), \( y \), \( x \) の順で積分する方法 [ちょい大変]

\( 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq 1 \) に注目すると \( z \) の積分範囲は \( y \leqq z \leqq 1 \) となります。

よって、\[\begin\iiint_V z \ dxdydz & = \iint_D \left( \int^_ z \ dz \right) \ dxdy\\ & = \iint_D \left[ \frac z^2 \right]^_ \ dxdy\\ & = \frac \iint_D 1 - y^2 \ dxdy\\ & = \frac \int^_ \left( \int^_ \frac 1 - y^2 \ dy \right) dx\\ & = \frac \int^_ \left[ y - \frac y^3 \ dy \right]^_ \ dx\\ & = \frac \int^_ \frac - x + \frac x^3 dz\\ & = \frac \left[ \frac x - \frac x^2 + \frac x^4 \right]^_\\ & = \frac \left( \frac - \frac + \frac \right)\\ & = \frac \cdot \frac\\ & = \frac\end\]と計算できます。

解答2

\( z \), \( y \), \( x \) の順に積分しましょうか。

\( x + y + z \leqq 2 \) を \( z \) 中心の形にすると、\( z \leqq 2 - x - y \) となります。

また、\( 0 \leqq z \) なので、\( z \) の積分範囲は\[0 \leqq z \leqq 2-x-y\]となります。

ここで、\[0 < x + y < 2 - z\]の範囲を \( z \) を使わずに表すことを考えましょう。

よって、\[\begin\iiint_V e^ \ dxdydz & = \iint_D \left( \int^_ e^ \ dz \right) \ dxdy\\ & = \iint_D \left[ e^ \right]^_ \ dxdy\\ & = \iint_D e^ - e^ \ dxdy\\ & = \int^_ \left( \int^_ e^ - e^ \ dy \right) dx\\ & = \int^_ \left[ x e^ - e^ \ dy \right]^_ \ dx\\ & = \int^_ (2-x) e^ - e^2 + e^x\\ & = \int^_ e^x + e^2 - e^ x\\ & = \left[ e^x + e^2 x - \frac e^2 x^2 \right]^_\\ & = e^2 + 2e^2 - 2e^2 - 1\\ & = e^2 - 1\end\]と計算できます。

解答3

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[\left\ x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end\right.\]の変数変換をしましょう。

まず、\( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \leqq 4 \) より \( 0 \leqq r \leqq 2 \) という制限が入ります。

つぎに、\( z = r \cos \theta \geqq 0 \)、\( \cos \theta \geqq 0 \) という条件が領域にありますね。よって、\( 0 \leqq \theta \leqq \pi / 2 \) の制限が入ります。

さらに \( x = r \sin \theta \cos \phi \geqq 0 \), \( y = r \sin \theta \sin \phi \geqq 0 \) という条件も領域に入りますね。

ここで、\( r \geqq 0 \), \( \sin \theta \geqq 0 \) なので、\( \cos \phi \geqq 0 \), \( \sin \phi \geqq 0 \) を満たすような \( \phi \) は \( 0 \leqq \theta \leqq \phi / 2 \) となります*7。

ヤコビアン \( r^2 \sin \theta \) の存在もお忘れなく。

よって、\[\begin\iiint_V z \ dxdydz & = \iiint_ r \cos \theta \cdot r^2 \sin \theta \ drd \theta d \phi\\ & = \int^_ r^3 \ dr \cdot \int^_ \sin \theta \cos \theta \ d \theta \cdot \int^< \frac >_ 1 \phi\end\]を解けば答えが求まりますね。

よって、\[\begin\iiint_V z \ dxdydz & = \int^_ r^3 \ dr \cdot \int^_ \sin \theta \cos \theta \ d \theta \cdot \int^< \frac >_ 1 \ \phi\\ & = 4 \cdot \frac \cdot \frac\\ & = \pi\end\]となる。

解答4

積分領域が \( x^2 + y^2 + z^2 \) の形で設定されているので、\[\left\ x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end\right.\]の変数変換をしようと変形すると、\[x^2 +y^2 \leqq x \\r^2 \sin \theta \leqq r \cos \theta \\r \sin \theta \leqq \cos \theta \\r \leqq \frac< \cos \theta > < \sin \theta >= \frac< \tan \theta >\]となるため、しんどそうな積分になりそうな気がしますね。

そこで、円柱変換\[\left\ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end\right.\]をしてみましょう。

すると、\( x^2 + y^2 \leqq x \) を \( r^2 \leqq r \cos \theta \) と変形できるので、\( r \geqq 0 \) より、\( r \leqq \cos \theta \) が成立します。

よって、\( r \) の積分範囲は \( 0 \leqq r \leqq \cos \theta \) となります。

さらに、\( 0 \leqq \cos \theta \) より、\( \theta \) の積分範囲は \( - \pi / 2 \leqq \theta \leqq \pi / 2 \) となります。

また、\[x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2 \leqq 1\]より、\[z^2 \leqq 1 - r^2 \\- \sqrt \leqq z \leqq \sqrt\]と \( z \) の積分範囲が決まります。（\( r \) と異なり正でなくてもよいため、負の範囲が入ることに注意！）

また、以下の2つの条件を考慮するために \( z \), \( r \), \( \theta \) の順に積分をする必要がある。

  • \( \theta \) の積分前に \( r \) を積分（\( r \) の範囲に \( \theta \) が含まれているため）
  • \( \ r \) の積分前に \( z \) を積分（\( z \) の積分範囲に \( r \) が含まれているため）

ヤコビアン \( r \) も忘れずに。

注意点としては、\[\begin\left( 1 - \cos^2 \theta \right)^< \frac > & = | \sin^3 \theta |\\ & \neq \sin^3 \theta\end\]があります。絶対値の存在を忘れないようにしましょう。

７．さいごに

  • 2重積分より積分する変数が1つ増えただけ
  • すでに積分した変数を積分しなければ、積分の順序は任意
  • 範囲が複雑であれば式を変形して定積分＋残りの領域で2重積分の形に。
  • 球面変換のヤコビアンは \( r^2 \sin \theta \)、\( \theta \) の範囲は1周分ではなく、\( 0 \leqq \theta \leqq \pi \)
  • 円柱変換のヤコビアンは \( r \)、極座標変換＋高さを変化させない変換だと思えばOK

*1 : 最初の \( x \) を積分するところでは \( y \), \( z \) をまだ積分していないので、積分変数に \( y \) と \( z \) を入れることができます。同様に \( y \) を積分するところでは \( z \) をまだ積分していないため、積分定数に \( z \) を入れることができます。

*2 : \( y \) を積分するときの積分範囲に、すでに積分した \( x \) が入っているのでNG。

*3 : 最初の1変数の積分では、残りの2変数の文字を積分領域に入れることができます。例えば \( x \) を最初に積分した場合、積分領域に \( y \), \( z \) を入れることができます。

*4 : ただし、\( x^2 + y^2 + z^2 \) が含まれているから必ず球面変換がうまくいくとは限りません。うまくいかない場合は、(3)で紹介する円柱変換をするかも、と疑いましょう。

*6 : \( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \) を念の為計算すると、\[\beginx^2+y^2 + z^2 & = r^2 \sin^2 \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin^2 \theta \sin^2 \phi + r^2 \cos^2 \theta\\ & = r^2 \left( \sin^2 \theta \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi \right) + \cos^2 \theta \right)\\ & = r^2 \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right)\\ & = r^2\end\]と導出できる。

*7 : 球面座標への変化の際には \( r \geqq 0 \) に加えて、\( 0 \leqq \theta \leqq \pi \) の制限がかかっているため、今回の問題に限らず \( \sin \theta \geqq 0 \) は常に成り立つ。

*8 : 2倍角の公式\[\sin \theta \cos \theta = \frac \sin 2 \theta\]を使ってます。

*9 : ウォリスの公式\[\begin\int^< \frac > \sin^n \theta \ d \theta = \frac \cdot \frac \cdot \cdots \cdot \left\ \pi / 2 \ \ \ (偶数) \\ 1 \ \ \ (奇数) \cos \theta \end\right.\end\]を使ってもOK。使わない場合は3倍角の公式\[\sin^3 \theta = \frac ( 3 \sin \theta - \sin 3 \theta )\]を使う必要あり。

公開日： 2021年1月2日 更新日： 2024年11月7日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part02 システム開発の工程の詳細 【基本情報】うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part03 プロジェクトマネジメントとPMBOK うさぎでもわかる計算機システム Part06 プロセッサの基礎 うさぎでもわかる線形代数 応用編第5羽 関数ノルム・ベクトルで表される連続時間信号のノルム うさぎでもわかる微分方程式 Part14 ラプラス変換のいろは うさぎでもわかる計算機システム（基本情報対応） Part19 仮想記憶とページング（4GBの壁の正体は？） Prologのカットオペレーターの動作 うさぎでもわかる計算機システム（基本情報対応） Part17 割込み（外部割込み・内部割込みの違い）・バッファ 【CG・CV入門】拡散反射と鏡面反射の特徴 【2021共通テスト】確率分布と統計的な推測 うさぎでもわかる解説

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