【数検1級対策】うさぎでもわかる線形代数 応用編第2羽 対称行列と交代行列への分解
例えば、次の行列 \( A \) に対して、\( S = A + A^ \) を計算してみましょう。\[A = \left( \begin 4 & 3 & 4 \\ -2 & 5 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end \right)\]すると、下のように \( S \) を計算できますね。\[\beginS & = A + A^\\ & = \left( \begin 4 & 3 & 4 \\ -2 & 5 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end \right) + \left( \begin 4 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -5 \\ 4 & 2 & 1 \end \right)\\ & = \left( \begin 8 & 1 & 4 \\ 1 & 10 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \end \right)\end\]
確かに \( S^ = S \) となり、対称行列であることが確認できました。
(ii) 仕組みの解説ここで、なぜ \( S = A + A^ \) で \( S \) を対称行列にできるのかを見ていきましょう。
ここで、\( S \) が対称行列となるためには \( S^ = S \) が示せればOKですね。
2. 交代行列（反対称行列・歪対称行列）
行列を転置させると、各成分の正負が入れ替わる行列を 交代行列 （反対称行列・歪対称行列）と呼びます。
(2) 任意の行列から対称行列の作成どんな行列 \( A \) であっても、 \( T = A - A^ \) とすることで、\( T \) を交代行列にすることができます 。
(i) 具体例を1つ見てみよう先ほどと同じ \( A \) に対して、\( T = A - A^ \) を計算してみましょう。\[A = \left( \begin 4 & 3 & 4 \\ -2 & 5 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end \right)\]すると、下のように \( T \) を計算できますね。\[\beginT & = A - A^\\ & = \left( \begin 4 & 3 & 4 \\ -2 & 5 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end \right) + \left( \begin 4 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -5 \\ 4 & 2 & 1 \end \right)\\ & = \left( \begin 0 & 5 & 4 \\ -5 & 0 & 7 \\ -4 & -7 & 0 \end \right)\end\]
(ii) 仕組みの解説先ほどと同じように、\( T= A - A^ \) で \( T \) を交代行列にできるのかを見ていきましょう。
ここで、\( T \) が交代行列となるためには \( T^ = -T \) が示せればOKですね。
(iii) 交代行列の対角成分は…？結論から言うと、 交代行列の対角成分はすべて0 になります。
理由を説明していきましょう。元の正方行列 \( A \) とその転置行列 \( A^ \) の対角成分は必ず等しくなりますね [1] 実際に転置してみるとわかりやすいと思います。理屈としては、ある行列の各 \( i \) 行 \( j \) 列の成分を \( j \) 行 \( i \) … Continue reading 。
また、交代行列とは元の行列 \( A \) の各成分の正負が入れ替えた行列、つまり \( A^ = -A \) が成立する行列でしたね。
行列 \( A \) とその転置行列 \( A^ \) に対し、
- \( A^ = A \) を満たす行列を対称行列
- \( A^ = -A \) を満たす行列を交代行列（歪対称行列・反対称行列）
3. 行列を対称行列・交代行列に分解しよう
いよいよ本題である「行列を 対称行列 ・ 交代行列 の2つに分解する」方法についてみていきましょう。
まず、行列 \( A \) に対して \( A + A^ \) は必ず対称行列 、 \( A - A^ \) は必ず交代行列 になるのでしたね。
あとは(1つ)上の式を2で割ることで、行列 \( A \) を「 対称行列 \( S \) と 交代行列 \( T \) の和」に分解する式が完成します。\[\beginA & = \textcolor + \textcolor\\ & = \textcolor< \frac (A + A^) > + \textcolor< \frac (A - A^) >\end\]
対称行列Sと交代行列Tへの分解どのような行列 \( A \) も、以下の計算をすることで対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和（つまり \( A = S + T \) ）に分解することができる。\[S = \frac ( A + A^ ) , \ \ \ T = \frac ( A - A^ ) \]
実際に対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の分解を例題で確認しましょう。
つぎの行列 \( A \) を対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和に分解しなさい。\[A = \left( \begin 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \\ -4 & 2 & 4 \end \right)\]
まずは転置行列を計算します。\[A^ = \left( \begin 1 &1 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 4 \end \right)\]
あとは、分解公式に当てはめるのみ。\[\beginS & = \frac ( A + A^ )\\ & = \frac \left\< \left( \begin 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \\ -4 & 2 & 4 \end \right) + \left( \begin 1 &1 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 4 \end \right) \right\>\\ & = \left( \begin 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \\ -2 & -1 & 4 \end \right) \end\]
\[\beginT & = \frac ( A - A^ )\\ & = \frac \left\< \left( \begin 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \\ -4 & 2 & 4 \end \right) - \left( \begin 1 & 1 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -4 & 4 \end \right) \right\>\\ & = \left( \begin 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end \right) \end\]
[検算ポイント1] \( S \) が本当に交代行列になっているか確認！[検算ポイント2] \( T \) が本当に交代行列になっているか確認！
よって、行列 \( A \) は次のように対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和に分解できる。\[\beginA & = \textcolor + \textcolor\\ & = \textcolor< \left( \begin 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \\ -2 & -1 & 4 \end \right) > + \textcolor< \left( \begin 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end \right) >\end\]
[検算ポイント3] \( A = S + T \) にきちんとなっているか確認！
- \( S \) を計算後に \( S \) が本当に対称行列になっている？
- \( T \) を計算後に \( T \) が本当に交代行列になっている？
- \( A = S + T \) になっている？
4. 練習問題
つぎの行列 \( A \) を対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和に分解しなさい。\[A = \left( \begin 4 & 4 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 9 & -1 \\ -4 & -1 & 7 & 4 \\ 8 & -9 & 2 & 0 \end \right)\]
まずは転置行列 \( A^ \) の計算から。\[A^ = \left( \begin 4 & 2 & -4 & 8 \\ 4 & -2 & -1 & -9 \\ 2 & 9 & 7 & 2 \\ -4 & -1 & 4 & 0 \end \right)\]
対称行列 \( S \) の計算。\[\beginS & = \frac ( A + A^ )\\ & = \frac \left\< \left( \begin 4 & 4 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 9 & -1 \\ -4 & -1 & 7 & 4 \\ 8 & -9 & 2 & 0 \end \right) + \left( \begin 4 & 2 & -4 & 8 \\ 4 & -2 & -1 & -9 \\ 2 & 9 & 7 & 2 \\ -4 & -1 & 4 & 0 \end \right) \right\>\\ & = \left( \begin 4 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 4 & -5 \\ -1 & 4 & 7 & 3 \\ 2 & -5 & 3 & 0 \end \right) \end\]※ 計算後に \( S \) が対称行列になっているか必ず確認！
交代行列 \( T \) の計算。\[\beginT & = \frac ( A - A^ )\\ & = \frac \left\< \left( \begin 4 & 4 & 2 & -4 \\ 2 & -2 & 9 & -1 \\ -4 & -1 & 7 & 4 \\ 8 & -9 & 2 & 0 \end \right) - \left( \begin 4 & 2 & -4 & 8 \\ 4 & -2 & -1 & -9 \\ 2 & 9 & 7 & 2 \\ -4 & -1 & 4 & 0 \end \right) \right\>\\ & = \left( \begin 0 & 1 & 3 & -6 \\ -1 & 0 & 5 & 4 \\ -3 & -5 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -1 & 0 \end \right) \end\]※ 計算後に \( T \) が交代行列になっているか必ず確認！
よって、行列 \( A \) は次のように対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和に分解できる。\[\beginA & = \textcolor + \textcolor\\ & = \textcolor< \left( \begin 4 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 4 & -5 \\ -1 & 4 & 7 & 3 \\ 2 & -5 & 3 & 0 \end \right) > + \textcolor< \left( \begin 0 & 1 & 3 & -6 \\ -1 & 0 & 5 & 4 \\ -3 & -5 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -1 & 0 \end \right) >\end\]※ 本当に \( A = S + T \) になっているか確認！
5. さいごに
今回は、数検1級に出てくる「行列 \( A \) を対称行列 \( S \) と交代行列 \( T \) の和に分解」する問題の解き方やその仕組みについてでした！
注釈 ↑ 1 実際に転置してみるとわかりやすいと思います。理屈としては、ある行列の各 \( i \) 行 \( j \) 列の成分を \( j \) 行 \( i \) 列におきかえるのが転置行列でしたね。ここで対角成分の場合、\( i = j \) が必ず成り立ちますよね。 公開日： 2022年4月14日 更新日： 2022年8月9日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる制御工学 第08羽 動的システム(後編) 周波数特性とボード線図 うさぎでもわかる微分方程式 Part04 完全微分方程式と積分因子 （試験頻出!!）文字が入っている行列の階数の求め方 うさぎでもわかる確率・統計 t分布のいろは④ 対応のない2標本の母平均検定 【統計学】出口調査の仕組みを理解するためのいろは うさぎでもわかる線形代数 補充3 平面の方程式 うさぎでもわかる線形代数 第16羽 対角化 うさぎでもわかる確率・統計 t分布のいろは① 母平均の推定 うさぎでもわかる線形代数 応用編第1羽 複素数とベクトル・複素数と行列 うさぎでもわかる線形代数 応用編第3羽 pノルム (Lpノルム）カテゴリー
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