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2014年12月31日 (水)
直角三角形が増える規則性は？（筑波大学附属駒場中学 2005年）直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。
ア：直角三角形の１つの辺を選び、そのまん中に印をつける。
イ：つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。
ウ：つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。
ただし、選んだ辺が２つの直角三角形の辺になっているときは
その２つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。
上の操作を１回と数え、下の図の三角形ＡＢＣを分割してできた直角三角形に、
この操作を何回もくり返していきます。
たとえば、１回目の操作を行うと、図１、図２のように、
４個、３個の直角三角形に分割されます。
また、図１に対して２回目の操作を行うと、
たとえば、図３、図４のように８個、１０個の直角三角形に分割されます。
さらに３回目の操作を行うと、
たとえば図５、図６のように１０個、１３個の直角三角形に分割されます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）操作を３回行ったとき、直角三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつありました。
直角三角形ＡＢＣは何個の直角三角形に分割されますか。
考えられる個数をすべて答えなさい。
（２）操作を１０回行ったとき、直角三角形ＡＢＣの辺上にある印は １個だけでした。
直角三角形ＡＢＣは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。
（３）操作を５０回行ったとき、辺ＡＣ上にある印は１０個でした。
直角三角形ＡＢＣは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。
図７では直角三角形の個数は、８個となります。
次に、最初に辺ＡＢ、またはＢＣ上に印をつけるときは、下の図８のように、
７個に分割されます。
よって、考えられる個数は、８個、７個です。
１回目の操作 １個 → ４個 （図１）
２回目の操作 ４個 → １０個 （図４）
３回目の操作 １０個 → １６個 （図９）
最も多くて、４＋６×９＝５８個 に分割することができることがわかります。
７＋２×８＝２３個 の直角三角形になることがわかります。
１個 → ４個 になるのが１０回、残りの４０回は、６個ずつ増えていく
１個 → ４個 → ７個 → ・・・ → ３１個 → ６個ずつ増
１＋３×１０＋６×４０＝２７１個 の直角三角形に分割されます。
１個 → ３個 → ５個 → ・・・ → ずっと２個ずつ増える
このとき、直角三角形の個数は、１＋２×５０＝１０１個 です。
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