sin15°、cos15°、tan15°【覚えておくと便利な三角比】
1 5 ∘ 15^ 1 5 ∘ の三角比は sin 1 5 ∘ = 6 − 2 4 cos 1 5 ∘ = 6 + 2 4 tan 1 5 ∘ = 6 − 2 6 + 2 = 2 − 3 \begin \sin 15^ &= \dfrac-\sqrt>\\ \cos 15^ &= \dfrac+\sqrt>\\ \tan 15^ &= \dfrac-\sqrt>+\sqrt>=2-\sqrt \end sin 1 5 ∘ cos 1 5 ∘ tan 1 5 ∘ = 4 6
1 5 ∘ 15^ 1 5 ∘ の三角比は，値そのものを覚えていなくても，
「 1 5 ∘ 15^ 1 5 ∘ ， 7 5 ∘ 75^ 7 5 ∘ ， 9 0 ∘ 90^ 9 0 ∘ 」の直角三角形の辺の比は 4 : 6 + 2 : 6 − 2 4:\sqrt+\sqrt:\sqrt-\sqrt 4 : 6
中学時代からお馴染みの「 1 : 1 : 2 1:1:\sqrt 1 : 1 : 2
」,「 1 : 2 : 3 1:2:\sqrt 1 : 2 : 3
sin 1 5 ∘ \sin 15^ sin 1 5 ∘ の計算方法を3通り紹介します。
加法定理4 5 ∘ − 3 0 ∘ = 1 5 ∘ 45^ - 30^ = 15^ 4 5 ∘ − 3 0 ∘ = 1 5 ∘ に注意して加法定理を用いましょう。
sin 1 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 − 2 2 ⋅ 1 2 = 6 − 2 4 \begin &\sin 15^\\ &= \sin (45^ - 30^)\\ &= \sin 45^ \cos 30^ - \cos 45^ \sin 30^\\ &= \dfrac> \cdot \dfrac> - \dfrac> \cdot \dfrac\\ &= \dfrac-\sqrt> \end sin 1 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2
半角の公式1 5 ∘ = 1 2 × 3 0 ∘ 15^ = \dfrac \times 30^ 1 5 ∘ = 2 1 × 3 0 ∘ に注意して半角の公式を用いましょう。
半角の公式より cos 3 0 ∘ = 1 − 2 sin 2 1 5 ∘ \cos 30^ = 1 - 2 \sin^2 15^ cos 3 0 ∘ = 1 − 2 sin 2 1 5 ∘ である。 cos 3 0 ∘ = 3 2 \cos 30^ = \dfrac> cos 3 0 ∘ = 2 3
初等的な計算∠ D C A = 1 5 ∘ \angle \mathrm = 15^ ∠ DCA = 1 5 ∘ となるように A B \mathrm AB 上に D \mathrm D を取る。（下図参照）
∠ D A C = ∠ D C A = 1 5 ∘ \angle \mathrm = \angle \mathrm = 15^ ∠ DAC = ∠ DCA = 1 5 ∘ より A D = C D \mathrm = \mathrm AD = CD である。
また，この時 △ B C D \triangle \mathrm △ BCD は 3 0 ∘ , 6 0 ∘ , 9 0 ∘ 30^ , 60^ , 90^ 3 0 ∘ , 6 0 ∘ , 9 0 ∘ の三角形であるため， B D = 3 \mathrm = \sqrt BD = 3
， A D = C D = 2 \mathrm = \mathrm = 2 AD = CD = 2 である。
以上より A C = A B 2 + B C 2 = ( 2 + 3 ) 2 + 1 2 = 8 + 4 3 = 6 + 2 \begin \mathrm &= \sqrt\\ &= \sqrt\\ &= \sqrt>\\ &= \sqrt + \sqrt \end AC = AB 2 + BC 2
と計算されるため sin 1 5 ∘ = 1 6 + 2 = 6 − 2 4 \sin 15^ = \dfrac+\sqrt> = \dfrac-\sqrt> sin 1 5 ∘ = 6
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る