1/x の積分公式と知っておきたい面白い性質
\[\beginF(x): & -\dfracx^ & -x^& \overbrace^ & x \ \ & \ \ \dfracx^2 \ \ & \ \ \dfracx^3 \ \ \\& \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow\\f(x): & x^ & x^ & x^ & x^0 & x^1 & x^2\\& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\f^(x): & -3x^ & -2x^ & -x^ & \underbrace_ & 1x^0 & 2x^1\end\]
このようにベキ乗関数の積分の規則性の中で、\(x^\) の積分だけ規則性から外れて、\(\log x\) になります。言い換えれば、\(x^\)は「実数の世界から虚数の世界への入り口」として機能しています。
実は、これにはネイピア数 \(e\) が関わっています。『指数関数の積分公式と知っておくべき重要な２つの性質』で解説している通り、ネイピア数を底とした指数関数 \(e^x\) はすべての関数の中で唯一、積分しても微分をしても変化しない関数であり、微積分の世界で非常に特別な立ち位置にあります。
そして、この特別な関数 \(e^x\) と\(\log x\) は逆関数の関係にあります。逆関数とは、ある関数の結果を元に戻す関数です。つまり、\(e^=\log(e^x)=x\) という関係にあるということです（『逆関数の微分を誰でも理解できるように視覚的に解説』解説しています）。
この特徴を活用して \(“e^=x”\) とし、両辺を微分すると以下のようになります。
これで \(\log x\) の微分が \(\frac\) であることが導き出されました。
そして、『積分とは何か？最もわかりやすく簡単に理解できるように解説』で解説したように、「微分積分学の基本定理」より、積分は微分の逆演算なので、同時に \(\frac\) の積分は \(\log x\) であるということが確定します。
以上が \(\frac\) の積分は \(\log x\) であることの解説です。
なお、『log（対数関数）の微分を誰でも理解できるように丁寧に解説』では、\(\log x\) の微分を、また別の観点から解説しています。併せてご覧頂くと、理解が深まりますので、ぜひご確認ください。
2. 練習問題
1/1+x の積分 1/1-x の積分 1/2x の積分3. 1/xの積分のまとめ
Python初心者におすすめのプログラミングスクール
AIジョブカレ ：Pythonの基本をおさえた人が、実際に機械学習やディープラーニングを活用できるようになるための講座。転職補償型があるなどキャリア支援の内容が非常に手厚く、講師の質も最高クラス。コスパ最高。Python初心者用の対策講座もある。
データミックス：プログラミング経験者のビジネスマンが、更なるキャリアアップのためにデータの処理方法を学んでデータサイエンティストになるための講座。転職だけでなく起業やフリーランスとして独立する人も多い。Python初心者用の対策講座もある。
・未経験からPythonエンジニアとして就職・転職したい ・AIエンジニアやデータサイエンティストとしてキャリアアップしたい ・起業やフリーランスを視野に入れたい
よかったらシェアしてね！ URLをコピーしました！ URLをコピーしました！- 対数関数 log x の積分公式と２通りの証明の解説
- 部分積分法 ~積（掛け算）の積分公式~ の使い方と解説
この記事を書いた人
関連記事
積分公式の一覧 ~ 知っておくべきもの６つ＋１の解説 ~ 2021年7月19日 実は簡単！分数関数の積分のやり方と重要な２つのポイント 2021年7月18日 置換積分（合成関数の積分）のやり方と証明を誰でもわかるように解説 2021年7月15日 部分積分法 ~積（掛け算）の積分公式~ の使い方と解説 2021年7月13日 対数関数 log x の積分公式と２通りの証明の解説 指数関数の積分公式と知っておくべき重要な２つの性質 ベキ乗関数 x^2 の積分公式と抑えておきたい規則性 tanの積分は何？微積分の関係がよりよくわかるようになる解説コメント
コメントする コメントをキャンセルこのサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。