４次関数のグラフと増減表

Point：４次関数のグラフと増減表解法の手順は、 ① ４次関数 $y=f(x)$ を $x$ で微分し、３次関数 $y’=f'(x)$ を求めます。 ② ３次関数 $y’=f'(x)$ より、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求めます。 ③ ３次関数のグラフより、$f'(x)$ の正負の変化をと極値の座標を調べておきます。 ④ 以上より、増減表を作りグラフを描きます。

問題解説：４次関数のグラフと増減表

問題解説(1) 問題次の関数のグラフを描け。$$~y=x^4-4x^3+4x^2$$

$y$ を $x$ で微分すると、$$\hspace< 10 pt>y’=4x^3-12x^2+8x$$右辺を因数分解すると、$$\hspace< 21 pt>=4x(x^2-3x+2)$$$$\hspace< 21 pt>=4x(x-1)(x-2)$$ここで、$y’=0$ となるのは$$\hspace< 20 pt>x=0~,~1~,~2$$これと $y’$ の３次式の係数が正より、$y’$ のグラフは次のようになります。

また、$x=0$ のとき $y$ 座標は、$$\hspace< 10 pt>y=0^4-4\cdot0^3+4\cdot0^2$$$$\hspace< 18 pt>=0$$ $x=1$ のとき $y$ 座標は、$$\hspace< 10 pt>y=1^4-4\cdot1^3+4\cdot1^2$$$$\hspace< 18 pt>=1-4+4$$$$\hspace< 18 pt>=1$$ $x=2$ のとき $y$ 座標は、$$\hspace< 10 pt>y=2^4-4\cdot2^3+4\cdot2^2$$$$\hspace< 18 pt>=16-32+16$$$$\hspace< 18 pt>=0$$ よって、$y$ の増減表は次のようになります。

$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $2$ $\cdots$ $y’$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $y$ ↘︎ $0$ ↗︎ $1$ ↘︎ $0$ ↗︎ 問題解説(2) 問題次の関数のグラフを描け。 $$~y=-x^4+4x^3-5$$

$y$ を $x$ で微分すると、$$\hspace< 10 pt>y’=-4x^3+12x^2$$右辺を因数分解すると、$$\hspace< 21 pt>=-4x^2(x-3)$$ここで、$y’=0$ となるのは$$\hspace< 20 pt>x=0~,~3$$また、$y’$ の３次式の係数が負であり、$x=0$ で重解をもつので $y’$ のグラフは次のようになります。

また、$x=0$ のとき $y$ 座標は、$$\hspace< 10 pt>y=-0^4+4\cdot0^3-5$$$$\hspace< 18 pt>=-5$$ $x=3$ のとき $y$ 座標は、$$\hspace< 10 pt>y=-3^4+4\cdot3^3-5$$$$\hspace< 18 pt>=-81+108-5$$$$\hspace< 18 pt>=22$$ よって、$y$ の増減表は次のようになります。

$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $3$ $\cdots$ $y’$ $+$ $0$ $+$ $0$ $-$ $y$ ↗︎ $-5$ ↗︎ $22$ ↘︎

よって、 $x=3$ のとき極大値 $22$ 、極小値はなしグラフは次のようになります。

今回のまとめ

４次関数のグラフと増減表は、３次関数のときと同様に微分した $y’$ より増減表を作りグラフを描きましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ：微分と積分このページは「高校数学Ⅱ：微分と積分」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき. yorikuwa.com お知らせ

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