【D3】クレローの方程式と包絡線（解法と例題）

両辺を微分すると $y^\left[x-\displaystyle\frac^2>\right]=0$ です。よって方程式は以下の２つに分けて考えられます。$$\beginy^=0\\x-\displaystyle\frac^2>=0\end$$これらを解くことにより $y^=0$ から一般解$$y(x)=cx+\frac$$を得て、$x-\displaystyle\frac=0$ からは特異解$$y(x)=\pm 2\sqrt$$を得ます(１階微分なので積分定数はでてきますが、もとの微分方程式に代入すると定数は $0$ だと分かります)．

特異解のうち $y(x)=2\sqrt$ のほうだけ考えてみます。これを微分して傾きを求めることで、点 $x=1/c^2>0$ における接線の式は$$y=c(x-\frac)+2\sqrt$$と分かります。整理することで$$y=cx+\frac$$$c>0$ は任意ですからこの式は特異解があらわす曲線の接線を集めたものです。そしてこれは先ほど求めた一般解と同じです。特異解が一般解の包絡線をあらわすことがイメージできるかと思います。下にGeogebraで描いたグラフを載せます。ちゃんと接していて感動しました。

厳密に包絡線になっているか確認します。直線群 $y=cx+\frac$ より $F_c(x,y)=cx+\frac-y$ とおくと包絡線を導く連立方程式は$$\begin F_c(x,y)=0\\\displaystyle\frac=0\end$$すなわち$$\begin cx+\displaystyle\frac-y=0\\x-\displaystyle\frac=0\end$$下の式から $c=\pm\frac>$ となりますので上の式へ代入すると$$y=\pm 2\sqrt$$

両辺を微分すると$$y^\left[x-\frac>\right]=0$$を得ます。よって方程式は以下の２つに分けて考えられます。$$\beginy^=0\\x-\displaystyle\frac>=0\end$$上の方からは $y=cx+c_0$ を得ますが、もとの方程式に代入することで $c_0=-\frac>$ であることが分かります。よって一般解は$$y(x)=cx -\frac> $$という直線です。この直線は $(\frac>,0)$ および $(0,-\frac>)$ を通りますので以下のようなグラフとなります。$x$ 軸と $y$ 軸の間にある部分の長さが常に $1$ であることが確認できます。

では包絡線になっていることを示しましょう。直線群 $F_c(x,y)=cx-y+\frac=0$ とその $c$ 微分でできる連立方程式$$ cx-y+\frac=0 \;,\; c+x=0$$から $c$ を消去すると$$y=-\frac$$となります。これは特異解と一致しています。よって特異解は包絡線です。

本記事では、下記の本を大いに参考にしています。厳密性はほどほどに、なるべくたくさんの演習問題が用意されています。産業や自然界における事例も豊富。数学科以外の理学部・工学部生にオススメです。

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