[積分]xlogxの積分｜部分積分法で積分する方法

[積分]部分積分法の証明｜不定積分・定積分の両方の場合を解説今回は部分積分法の証明です。部分積分は不定積分の場合と定積分の場合の２パターンあるので、両方とも解説します。部分積分法｜不定積分 \(\displaystyle\int f(x) dx.

それでは\(\displaystyle\int x\log x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

x logxを積分する｜部分積分法

\(f(x)=x,\ F(x)=\displaystyle \fracx^2\)\(g(x)=\log x,\ g'(x)=\displaystyle \frac\)

\begin \displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x) dx\\\\ \displaystyle\int x \log x dx&=&\displaystyle \fracx^2 \log x-\displaystyle\int \displaystyle \fracx^2 \displaystyle \frac dx\\ &=&\displaystyle \fracx^2 \log x-\displaystyle \frac\displaystyle\int x dx\\&=&\displaystyle \fracx^2 \log x-\displaystyle \frac\cdot \displaystyle \fracx^2\\&=&\displaystyle \fracx^2 \log x -\displaystyle \fracx^2\end

ちなみに\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx =F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\)を使用はオススメしていません。

理由は\(\displaystyle\int \log x dx\)を計算する必要があるからです。\(\displaystyle\int \log x dx=x\log x-x\)と積分の答えが複雑です。さらに、\(\log x\)の積分には部分積分法を使う必要があり、部分積分法で計算した答えを部分積分法で使うという、はん雑な計算が必要なため、\(\log x\)を微分した方が簡単に\(x \log x\)の答えを導けます。

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