フレネ (Frenet) 標構とフレネ-セレ(Frenet-Serret)の式
を紹介する。導出が少し長いので、最初に結論だけ書いておこう。 \[ \frac\left(\begin \b \\ \b \\ \b \end\right) = \left( \begin 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end \right) \left(\begin \b \\ \b \\ \b \end\right) \] \(\b,\b,\b\)はそれぞれ曲線の接ベクトル・法線ベクトル・従法線ベクトルで、\(\kappa,\tau\)は曲線の形状から決まる関数である。
2.接ベクトル
三次元空間のある曲線\(\b(s)\)の接ベクトル\(\b\)は、パラメータsで微分すれば得られて、 \[\b=\frac>\] である。\(s\)は曲線の弧長パラメータであり、前回説明したようにこの場合、接ベクトルは自動的に単位ベクトルになる。
3.主法線ベクトル
主法線ベクトルちなみに、2階微分が接ベクトル\(\b\)と直交することは簡単に示すことができる。やってみよう。さっき言ったように、接ベクトルの大きさは1だから、これを式にすると、 \[\frac>\cdot\frac> = 1\] である。これの両辺をさらにsで微分してやると、(積の微分法則を使う) \[\frac>\cdot\frac> = 0\] となって、\(\frac>\)というベクトルが接線ベクトルと直交していることがわかる。
主法線ベクトル\(\b\)としては普通、2階微分したベクトルをその大きさで割ったもの、すなわち、 \[\b = \frac\frac> ~~~~~~~~ただし\kappa = \left|\frac>\right| \] で定義する。\(\kappa\)という記号でこのベクトルの大きさを書いたのには意味がある。実はこの量は曲線の曲率という量と全く同じなのだ。このことについてはそのうち説明する。