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ロタの基礎予想
Rota’s_basis_conjecture 線形代数とマトロイド理論におけるロタの基底予想は、基底の再配置に関する未証明の予想であり、ジャン カルロ ロタにちなんで名付けられました。Xが次元nのベクトル空間、またはより一般的には n 個の互いに素な基底 Bi を持つランク n のマトロイドである場合、これらの基底の要素をn × n行列に配置することが可能であると述べています。 これは、行列の行が正確に指定された基数になり、行列の列も基数になるようにするためです。つまり、それぞれが各基底Biからの 1 つの要素で構成される、 n個の互いに素な基底C iの第2 セットを見つけることができるはずです。 コンテンツ 1 例2 部分的な結果3 関連する問題4 こちらも参照5 参考文献6 外部リンク
3 つの色の三角形 (赤、青、黄) の 9 つの頂点が 3 つの虹色の三角形 (黒いエッジ) に再グループ化されます。 ロタの基底予想には、ユークリッド平面内の点に関する単純な定式化がそれは、異なる頂点を持つ 3 つの三角形が与えられ、各三角形が 3 色のいずれかで着色されている場合、9 つの三角形の頂点を 3 つの「虹」に再グループ化することが可能であるに違いないと述べています。各色の 1 つの頂点を持つ三角形。三角形はすべて非縮退である必要がつまり、3 つの頂点がすべて直線上にあるわけではありません。 これを基底予想のインスタンスとして見るには、ベクトルの線形独立性(XI y I 1 < x_，y_，1>
) 3 次元の実ベクトル空間 (ここで (XI y I < x_，y_>
) は三角形の頂点のデカルト座標です)、または同等に、次のいずれかの場合に点の集合Sが独立しているランク 3 のマトロイドを使用できます。S | ≤ 2 またはS は、非縮退三角形の 3 つの頂点を形成します。この線形代数とこのマトロイドの場合、基底はまさに非縮退三角形です。3 つの入力三角形と 3 つの虹の三角形を考慮すると、9 つの頂点を 3 × 3 の行列に配置することができます。この行列では、各行に単色の三角形の 1 つの頂点が含まれ、各列に単色の三角形の 1 つの頂点が含まれます。虹の三角形。 同様に、3 次元ユークリッド空間の点について、この予想は、4 つの異なる色の 4 つの非縮退四面体の 16 の頂点が 4 つの虹四面体に再グループ化される可能性があると述べています。
部分的な結果 Rota の基底予想の記述は、Huang & Rota (1994)によって初めて出版され、1989 年に (引用なしで) Rotaの功績であるとされています。基底予想は、舗装マトロイド(すべての nについて) およびn ≤ 3の場合 (すべてのタイプのマトロイドの場合)。任意のマトロイドの場合、最初の Ω( √ n ) 列が基底となる行列に基底要素を配置することが可能です。標数ゼロの体およびnの偶数値に対する線形代数の基礎予想は、アロンとタルシによるラテン方陣に関する別の予想から得られます。 この含意に基づいて、この予想は、無限に多くの nの値の実数にわたる線形代数に当てはまることが知られています。
関連する問題 トベルベリの定理に関連して、Bárány & Larman (1992) は、 d次元ユークリッド空間内のr ( d + 1)個の点のセットごとに、それぞれにr個の点 が存在するようにd + 1 色で色付けされると推測しました。色の場合、 これらのセットの凸包が空でない交差を持つように、点を虹のシンプライス (各色の 1 点を持つd + 1 点のセット)に分割する方法がたとえば、 r = 3の 2 次元の場合 (Bárány と Larman によって証明) では 、3 つの色と各色の 3 つの点で着色された平面内の 9 点のセットごとに、次のことが可能であると述べています。点を 3 つの交差する虹三角形に分割します。これは、点を 3 つの非縮退虹三角形に分割できるという Rota の基底予想と同様のステートメントです。Bárány と Larman の予想では、同一線上にある 3 つの点を虹の三角形とみなすことができますが、Rota の基底予想ではこれが許可されません。一方、Rota の基底予想では、三角形が共通の交差を持つ必要はありません。Bárány と Larman の予想については、Blagojević、Matschke、Ziegler （2009)によって大幅な進歩が見られました。
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